Решение примеров с остатком. Деление целых чисел с остатком: правила, примеры. Видео: Игра арифметика для детей сложение вычитание деление умножение

Прочитайте тему урока: «Деление с остатком». Что вы уже знаете по этой теме?

Можете ли вы разложить 8 слив поровну на две тарелки (рис. 1)?

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

В каждую тарелку можно положить по 4 сливы (рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к примеру

Действие, которое мы выполнили, можно записать так.

8: 2 = 4

Как вы думаете, можно ли 8 слив поровну разложить на 3 тарелки (рис. 3)?

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

Будем действовать так. Сначала в каждую тарелку положим по одной сливе, потом по второй сливе. У нас останется 2 сливы, но 3 тарелки. Значит, дальше поровну мы разложить не можем. Мы положили в каждую тарелку по 2 сливы, и 2 сливы у нас осталось (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к примеру

Продолжим наблюдение.

Прочитайте числа. Среди данных чисел найдите те, которые делятся на 3.

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Проверьте себя.

Остальные числа (11, 13, 14, 16, 17, 19) на 3 не делятся, или говорят «делятся с остатком».

Найдем значение частного.

Узнаем, сколько раз по 3 содержится в числе 17 (рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к примеру

Мы видим, что поместилось по 3 овала 5 раз и 2 овала осталось.

Выполненное действие можно записать так.

17: 3 = 5 (ост. 2)

Можно записать и в столбик (рис. 6)

Рис. 6. Иллюстрация к примеру

Рассмотрите рисунки. Объясните подписи к этим рисункам (рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к примеру

Рассмотрим первый рисунок (рис. 8).

Рис. 8. Иллюстрация к примеру

Мы видим, что 15 овалов разделили по 2. По 2 повторилось 7 раз, в остатке - 1 овал.

Рассмотрим второй рисунок (рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к примеру

На этом рисунке 15 квадратов разделили по 4. По 4 повторилось 3 раза, в остатке - 3 квадрата.

Рассмотрим третий рисунок (рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к примеру

Можно сказать, что 15 овалов разделили по 3. По 3 повторилось 5 раз поровну. В таких случаях говорят, что остаток - 0.

Выполним деление.

Семь квадратов разделим по три. Получим две группы, и один квадрат останется. Запишем решение (рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к примеру

Выполним деление.

Узнаем, сколько раз по четыре содержится в числе 10. Видим, что в числе 10 по четыре содержится 2 раза и 2 квадрата остаются. Запишем решение (рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к примеру

Выполним деление.

Узнаем, сколько раз по два содержится в числе 11. Видим, что в числе 11 по два содержится 5 раз и 1 квадрат остается. Запишем решение (рис. 13).

Рис. 13. Иллюстрация к примеру

Сделаем вывод. Разделить с остатком - значит узнать, сколько раз делитель содержится в делимом и сколько единиц останется.

Деление с остатком можно выполнить и на числовом луче.

На числовом луче отметим отрезки по 3 деления и увидим, что по три деления оказалось три раза и одно деление осталось (рис. 14).

Рис. 14. Иллюстрация к примеру

Запишем решение.

10: 3 = 3 (ост.1)

Выполним деление.

На числовом луче отметим отрезки по 3 деления и увидим, что по три деления оказалось три раза и два деления осталось (рис. 15).

Рис. 15. Иллюстрация к примеру

Запишем решение.

11: 3 = 3 (ост.2)

Выполним деление.

На числовом луче отметим отрезки по 3 деления и увидим, что получили ровно 4 раза, остаток отсутствует (рис. 16).

Рис. 16. Иллюстрация к примеру

Запишем решение.

12: 3 = 4

Сегодня на уроке мы познакомились с делением с остатком, научились выполнять названное действие с помощью рисунка и числового луча, потренировались в решении примеров по теме урока.

Список литературы

  1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. - М.: «Просвещение», 2012.
  2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. - М.: «Просвещение», 2012.
  3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
  4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. - М.: «Просвещение», 2011.
  5. «Школа России»: Программы для начальной школы. - М.: «Просвещение», 2011.
  6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
  7. В.Н. Рудницкая. Тесты. - М.: «Экзамен», 2012.
  1. Nsportal.ru ().
  2. Prosv.ru ().
  3. Do.gendocs.ru ().

Домашнее задание

1. Выпиши числа, которые делятся на 2 без остатка.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

2. Выполни деление с остатком с помощью рисунка.

3. Выполни деление с остатком с помощью числового луча.

4. Составь задание для своих товарищей по теме урока.

Деление многозначных чисел легче всего выполнять столбиком. Деление столбиком иначе называют деление уголком .

Перед тем как начать выполнение деления столбиком, рассмотрим подробно саму форму записи деления столбиком. Сначала записываем делимое и справа от него ставим вертикальную черту:

За вертикальной чертой, напротив делимого, пишем делитель и под ним проводим горизонтальную черту:

Под горизонтальной чертой поэтапно будет записываться получающееся в результате вычислений частное:

Под делимым будут записываться промежуточные вычисления:

Полностью форма записи деления столбиком выглядит следующим образом:

Как делить столбиком

Допустим, нам нужно разделить 780 на 12, записываем действие в столбик и приступаем к делению:

Деление столбиком выполняется поэтапно. Первое, что нам требуется сделать, это определить неполное делимое. Смотрим на первую цифру делимого:

это число 7, так как оно меньше делителя, то мы не можем начать деление с него, значит нужно взять ещё одну цифру из делимого, число 78 больше делителя, поэтому мы начинаем деление с него:

В нашем случае число 78 будет неполным делимым , неполным оно называется потому, что является всего лишь частью делимого.

Определив неполное делимое, мы можем узнать сколько цифр будет в частном, для этого нам нужно посчитать, сколько цифр осталось в делимом после неполного делимого, в нашем случае всего одна цифра - 0, это значит, что частное будет состоять из 2 цифр.

Узнав количество цифр, которое должно получиться в частном, на его месте можно поставить точки. Если при завершении деления количество цифр получилось больше или меньше, чем указано точек, значит где-то была допущена ошибка:

Приступаем к делению. Нам нужно определить сколько раз 12 содержится в числе 78. Для этого мы последовательно умножаем делитель на натуральные числа 1, 2, 3, …, пока не получится число максимально близкое к неполному делимому или равное ему, но не превышающее его. Таким образом мы получаем число 6, записываем его под делитель, а из 78 (по правилам вычитания столбиком) вычитаем 72 (12 · 6 = 72). После того, как мы вычли 72 из 78, получился остаток 6:

Обратите внимание, что остаток от деления показывает нам, правильно ли мы подобрали число. Если остаток равен делителю или больше него, то мы не правильно подобрали число и нам нужно взять число побольше.

К получившемуся остатку - 6, сносим следующую цифру делимого - 0. В результате, получилось неполное делимое - 60. Определяем, сколько раз 12 содержится в числе 60. Получаем число 5, записываем его в частное после цифры 6, а из 60 вычитаем 60 (12 · 5 = 60). В остатке получился нуль:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 780 разделилось на 12 нацело. В результате выполнения деления столбиком мы нашли частное - оно записано под делителем:

Рассмотрим пример, когда в частном получаются нули. Допустим нам нужно разделить 9027 на 9.

Определяем неполное делимое - это число 9. Записываем в частное 1 и из 9 вычитаем 9. В остатке получился нуль. Обычно, если в промежуточных вычислениях в остатке получается нуль, его не записывают:

Сносим следующую цифру делимого - 0. Вспоминаем, что при делении нуля на любое число будет нуль. Записываем в частное нуль (0: 9 = 0) и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Обычно, чтобы не нагромождать промежуточные вычисления, вычисление с нулём не записывают:

Сносим следующую цифру делимого - 2. В промежуточных вычислениях вышло так, что неполное делимое (2) меньше, чем делитель (9). В этом случае в частное записывают нуль и сносят следующую цифру делимого:

Определяем, сколько раз 9 содержится в числе 27. Получаем число 3, записываем его в частное, а из 27 вычитаем 27. В остатке получился нуль:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит число 9027 разделилось на 9 нацело:

Рассмотрим пример, когда делимое оканчивается нулями. Пусть нам требуется разделить 3000 на 6.

Определяем неполное делимое - это число 30. Записываем в частное 5 и из 30 вычитаем 30. В остатке получился нуль. Как уже было сказано, нуль в остатке в промежуточных вычислениях записывать не обязательно:

Сносим следующую цифру делимого - 0. Так как при делении нуля на любое число будет нуль, записываем в частное нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0:

Сносим следующую цифру делимого - 0. Записываем в частное ещё один нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Так как в промежуточных вычислениях, вычисление с нулём обычно не записывают, то запись можно сократить, оставив только остаток - 0. Нуль в остатке в самом конце вычислений обычно записывают для того, чтобы показать, что деление выполнено нацело:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 3000 разделилось на 6 нацело:

Деление столбиком с остатком

Пусть нам требуется разделить 1340 на 23.

Определяем неполное делимое - это число 134. Записываем в частное 5 и из 134 вычитаем 115. В остатке получилось 19:

Сносим следующую цифру делимого - 0. Определяем, сколько раз 23 содержится в числе 190. Получаем число 8, записываем его в частное, а из 190 вычитаем 184. Получаем остаток 6:

Так как в делимом больше не осталось цифр, деление закончилось. В результате получилось неполное частное 58 и остаток 6:

1340: 23 = 58 (остаток 6)

Осталось рассмотреть пример деления с остатком, когда делимое меньше делителя. Пусть нам требуется разделить 3 на 10. Мы видим, что 10 ни разу не содержится в числе 3, поэтому записываем в частное 0 и из 3 вычитаем 0 (10 · 0 = 0). Проводим горизонтальную черту и записываем остаток - 3:

3: 10 = 0 (остаток 3)

Калькулятор деления столбиком

Данный калькулятор поможет вам выполнить деление столбиком. Просто введите делимое и делитель и нажмите кнопку Вычислить.


От общего представления о делении натуральных чисел с остатком будем двигаться дальше, и в этой статье мы разберемся с принципами, по которым проводится это действие. Вообще деление с остатком имеет много общего с делением натуральных чисел без остатка , так что мы будем часто ссылаться на материал указанной статьи.

Сначала разберемся с делением натуральных чисел с остатком в столбик. Дальше мы покажем, как можно отыскать результат деления натуральных чисел с остатком, проводя последовательное вычитание. После этого перейдем к методу подбора неполного частного, не забывая при этом приводить примеры с подробным описанием решения. Далее запишем алгоритм, позволяющий проводить деление натуральных чисел с остатком в общем случае. В конце статьи мы покажем, как выполняется проверка результата деления натуральных чисел с остатком.

Навигация по странице.

Деление натуральных чисел в столбик с остатком

Одним из самых удобных способов деления натуральных чисел с остатком является деление столбиком. В статье деление натуральных чисел столбиком мы очень подробно разобрали этот метод деления. Здесь не будем повторяться, а просто приведем решение одного примера.

Пример.

Выполните деление с остатком натурального числа 273 844 на натуральное число 97 .

Решение.

Проведем деление столбиком:

Таким образом, неполное частное от деления 273 844 на 97 равно 2 823 , а остаток равен 13 .

Ответ:

273 844:97=2 823 (ост. 13) .

Деление натуральных чисел с остатком через последовательное вычитание

Найти неполное частное и остаток от деления натуральных чисел можно, выполняя последовательное вычитание делителя.

Суть этого подхода проста: из элементов имеющегося множества последовательно формируются множества с требуемым количеством элементов до того момента, пока это возможно, количество полученных множеств дает неполное частное, а количество оставшихся элементов в исходном множестве – остаток от деления.

Приведем пример.

Пример.

Допустим, нам нужно разделить 7 на 3 .

Решение.

Представим, что нам нужно разложить 7 яблок в пакеты по 3 яблока. Из исходного количества яблок мы берем 3 штуки и кладем их в первый пакет. При этом в силу смысла вычитания натуральных чисел у нас остается 7−3=4 яблока. Из них мы опять берем 3 штуки, и кладем их во второй пакет. После этого у нас остается 4−3=1 яблоко. Понятно, что на этом процесс заканчивается (мы не можем сформировать еще один пакет с требуемым количеством яблок, так как оставшееся количество яблок 1 меньше нужного нам количества 3 ). В итоге мы имеем два пакета с требуемым количеством яблок и одно яблоко в остатке.

Тогда в силу смысла деления натуральных чисел с остатком можно утверждать, что мы получили следующий результат 7:3=2 (ост. 1) .

Ответ:

7:3=2 (ост. 1) .

Рассмотрим решение еще одного примера, при этом приведем лишь математические выкладки.

Пример.

Разделите натуральное число 145 на 46 , выполняя последовательное вычитание.

Решение.

145−46=99 (при необходимости обращайтесь к статье вычитание натуральных чисел). Так как 99 больше, чем 46 , то проводим вычитание делителя второй раз: 99−46=53 . Так как 53>46 , то вычитаем делитель третий раз: 53−46=7 . Так как 7 меньше, чем 46 , то еще раз провести вычитание мы не сможем, то есть, на этом заканчиваем процесс последовательного вычитания.

В итоге нам потребовалось из делимого 145 последовательно вычесть 3 раза делитель 46 , после чего получился остаток 7 . Таким образом, 145:46=3 (ост. 7) .

Ответ:

145:46=3 (ост. 7) .

Следует заметить, что если делимое меньше делителя, то мы не сможем проводить последовательное вычитание. Да это и не нужно, так как в этом случае мы можем сразу написать ответ. В этом случае неполное частное равно нулю, а остаток равен делимому. То есть, если a

Еще нужно сказать, что выполнять деление натуральных чисел с остатком рассмотренным способом хорошо лишь тогда, когда для получения результата требуется провести небольшое количество последовательных вычитаний.

Подбор неполного частного

При делении данных натуральных чисел a и b с остатком неполное частное c можно подобрать. Сейчас мы покажем, на чем основан процесс подбора и как он должен проходить.

Сначала определимся, среди каких чисел искать неполное частное. Когда мы говорили о смысле деления натуральных чисел с остатком, то выяснили, что неполное частное может быть либо нулем, либо натуральным числом, то есть, одним из чисел 0 , 1 , 2 , 3 , ... Таким образом, искомое неполное частное является одним из записанных чисел, и нам остается перебрать их, чтобы определить, каким именно числом является неполное частное.

Дальше нам потребуется уравнение вида d=a−b·c , задающее , а также тот факт, что остаток всегда меньше делителя (это мы также упоминали, когда говорили о смысле деления натуральных чисел с остатком).

Теперь можно переходить непосредственно к описанию процесса подбора неполного частного. Делимое a и делитель b нам известны изначально, в качестве неполного частного c мы последовательно принимаем числа 0 , 1 , 2 , 3 , …, каждый раз вычисляя значение d=a−b·c и сравнивая его с делителем. Этот процесс завершается, как только полученное значение будет меньше, чем делитель. При этом число c на этом шаге является искомым неполным частным, а значение d=a−b·c является остатком от деления.

Осталось разобрать процесс подбора неполного частного на примере.

Пример.

Выполните деление с остатком натурального числа 267 на 21 .

Решение.

Подберем неполное частное. В нашем примере a=267 , b=21 . Будем последовательно придавать c значения 0 , 1 , 2 , 3 , …, вычисляя на каждом шаге значение d=a−b·c и сравнивая его с делителем 21 .

При c=0 имеем d=a−b·c=267−21·0=267−0=267 (сначала выполняется умножение натуральных чисел , а затем – вычитание, об этом написано в статье ). Полученное число больше, чем 21 (при необходимости изучите материал статьи сравнение натуральных чисел). Поэтому продолжаем процесс подбора.

При c=1 имеем d=a−b·c=267−21·1=267−21=246 . Так как 246>21 , то продолжаем процесс.

При c=2 получаем d=a−b·c=267−21·2=267−42=225 . Так как 225>21 , то двигаемся дальше.

При c=3 имеем d=a−b·c=267−21·3=267−63=204 . Так как 204>21 , то продолжаем подбор.

При c=12 получаем d=a−b·c=267−21·12=267−252=15 . Получили число 15 , которое меньше, чем 21 , поэтому процесс можно считать завершенным. Мы подобрали неполное частное c=12 , при этом остаток d получился равным 15 .

Ответ:

267:21=12 (ост. 15) .

Алгоритм деления натуральных чисел с остатком, примеры, решения

В этом пункте мы рассмотрим алгоритм, позволяющий проводить деление с остатком натурального числа a на натуральное число b в тех случаях, когда метод последовательного вычитания (и метод подбора неполного частного) требует слишком большого количества вычислительных операций.

Сразу отметим, что если делимое a меньше, чем делитель b , то мы знаем и неполное частное и остаток: при ab .

Прежде чем мы подробно опишем все шаги алгоритма деления натуральных чисел с остатком, ответим на три вопроса: что нам изначально известно, что нам нужно найти и исходя из каких соображений мы это будем делать? Изначально нам известно делимое a и делитель b . Нам нужно найти неполное частное c и остаток d . Равенство a=b·c+d задает связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком . Из записанного равенства следует, что если мы представим делимое a в виде суммы b·c+d , в которой d меньше, чем b (так как остаток всегда меньше делителя), то мы увидим и неполное частное c и остаток d .

Осталось лишь разобраться, как делимое a представить в виде суммы b·c+d . Алгоритм, позволяющий это сделать, очень схож с алгоритмом деления натуральных чисел без остатка . Опишем все шаги, и одновременно будем вести решение примера для большей ясности. Разделим 899 на 47 .

Первые пять пунктов алгоритма позволят представить делимое в виде суммы нескольких слагаемых. Нужно отметить, что действия из этих пунктов циклически повторяются снова и снова, пока не будут найдены все слагаемые, дающие в сумме делимое. В заключительном шестом пункте полученная сумма преобразуется к виду b·c+d (если полученная сумма уже не будет иметь такой вид), откуда становятся видны искомое неполное частное и остаток.

Итак, приступаем к представлению делимого 899 в виде суммы нескольких слагаемых.

    Сначала вычисляем, насколько количество знаков в записи делимого больше, чем количество знаков в записи делителя, и запоминаем это число.

    В нашем примере в записи делимого 3 знака (899 – трехзначное число), а в записи делителя – два знака (47 – двузначное число), следовательно, в записи делимого на один знак больше, и мы запоминаем число 1 .

    Теперь в записи делителя справа дописываем цифры 0 в количестве, определяемым числом, полученным в предыдущем пункте. При этом если записанное число будет больше делимого, то из запомненного в предыдущем пункте числа нужно вычесть 1 .

    Возвращаемся к нашему примеру. В записи делителя 47 дописываем справа одну цифру 0 , и получаем число 470 . Так как 470<899 , то запомненное в предыдущем пункте число НЕ нужно уменьшать на 1 . Таким образом, у нас в памяти остается число 1 .

    После этого к цифре 1 справа приписываем цифры 0 в количестве, определяемом числом, запомненном в предыдущем пункте. При этом получаем единицу разряда, с которым мы будем работать дальше.

    В нашем примере к цифре 1 приписываем 1 цифру 0 , при этом получаем число 10 , то есть, мы будем работать с разрядом десятков.

    Теперь последовательно умножаем делитель на 1 , 2 , 3 , … единицы рабочего разряда до того момента, пока не получим число, большее или равное делимому.

    Мы выяснили, что в нашем примере рабочим разрядом является разряд десятков. Поэтому мы сначала умножаем делитель на одну единицу разряда десятков, то есть, умножаем 47 на 10 , получаем 47·10=470 . Полученное число 470 меньше делимого 899 , поэтому переходим к умножению делителя на две единицы разряда десятков, то есть 47 умножаем на 20 . Имеем 47·20=940 . Мы получили число, которое больше, чем 899 .

    Число, полученное на предпоследнем шаге при последовательном умножении, является первым из искомых слагаемых.

    В разбираемом примере искомым слагаемым является число 470 (это число равно произведению 47·100 , это равенство мы используем позже).

    После этого находим разность между делимым и первым найденным слагаемым. Если полученное число больше делителя, то приступаем к нахождению второго слагаемого. Для этого повторяем все описанные шаги алгоритма, но уже в качестве делимого принимаем полученное здесь число. Если в этом пункте опять получается число, большее делителя, то приступаем к нахождению третьего слагаемого, еще раз повторяя шаги алгоритма, приняв полученное число в качестве делимого. И так действуем дальше, находя четвертое, пятое и последующие слагаемые, пока полученное в этом пункте число не будет меньше делителя. Как только это произошло, то полученное здесь число принимаем в качестве последнего искомого слагаемого (забегая вперед, скажем, что оно равно остатку), и переходим к завершающему этапу.

    Возвращаемся к нашему примеру. На этом шаге имеем 899−470=429 . Так как 429>47 , то принимаем это число в качестве делимого и повторяем с ним все этапы алгоритма.

    В записи числа 429 на один знак больше, чем в записи числа 47 , поэтому, запоминаем число 1 .

    Теперь в записи делимого справа дописываем одну цифру 0 , получаем число 470 , которое больше числа 429 . Поэтому, из запомненного в предыдущем пункте числа 1 вычитаем 1 , получаем число 0 , которое и запоминаем.

    Так как в предыдущем пункте мы запомнили число 0 , то к цифре 1 не нужно справа приписывать ни одной цифры 0 . При этом имеем число 1 , то есть, рабочим разрядом является разряд единиц.

    Теперь последовательно умножаем делитель 47 на 1 , 2 , 3 , … Не будем останавливаться на этом подробно. Скажем лишь, что 47·9=423<429 , а 47·10=470>429 . Вторым искомым слагаемым является число 423 (которое равно 47·9 , что мы используем дальше).

    Разность между 429 и 423 равна 6 . Это число меньше, чем делитель 47 , поэтому оно является третьим (и последним) искомым слагаемым. Теперь мы можем переходить к завершающему этапу.

    Ну вот мы и подошли к заключительному этапу. Все предыдущие действия были направлены на то, чтобы представить делимое в виде суммы нескольких слагаемых. Теперь полученную сумму осталось преобразовать к виду b·c+d . С этой задачей нам поможет справиться распределительное свойство умножения относительно сложения . После этого станут видны искомое неполное частное и остаток.

    В нашем примере делимое 899 равно сумме трех слагаемых 470 , 423 и 6 . Сумму 470+423+6 можно переписать в виде 47·10+47·9+6 (помните, мы обращали внимание на равенства 470=47·10 и 423=47·9 ). Теперь применяем свойство умножения натурального числа на сумму, при этом получаем 47·10+47·9+6= 47·(10+9)+6= 47·19+6 . Таким образом, делимое преобразовано к нужному нам виду 899=47·19+6 , откуда легко находится неполное частное 19 и остаток 6 .

Итак, 899:47=19 (ост. 6) .

Конечно же, при решении примеров Вы не будете настолько подробно описывать процесс деления с остатком.

Научить ребенка делению столбиком просто. Необходимо объяснить алгоритм этого действия и закрепить пройденный материал.

  • Согласно школьной программе, деление столбиком детям начинают объяснять уже в третьем классе. Ученики, которые схватывают все «на лету», быстро понимают эту тему
  • Но, если ребенок заболел и пропустил уроки математики, или он не понял тему, тогда родители должны самостоятельно малышу объяснить материал. Нужно максимально доступно донести до него информацию
  • Мамы и папы во время учебного процесса ребенка должны быть терпеливыми, проявляя такт по отношению к своему чаду. Ни в коем случае нельзя кричать на ребенка, если у него что-то не получается, ведь так можно отбить у него всю охоту к занятиям



Важно: Чтобы ребенок понял деление чисел, он должен досконально знать таблицу умножения. Если малыш плохо знает умножение, он не поймет деление.

Во время домашних дополнительных занятий можно пользоваться шпаргалками, но ребенок должен выучить таблицу умножения, прежде чем, приступать к теме «Деление».

Итак, как объяснить ребенку деление столбиком :

  • Постарайтесь сначала объяснить на маленьких цифрах. Возьмите счетные палочки, например, 8 штук
  • Спросите у ребенка, сколько пар в этом ряду палочек? Правильно — 4. Значит, если разделить 8 на 2, получится 4, а при делении 8 на 4 получится 2
  • Пусть ребенок сам разделит другое число, например, более сложное: 24:4
  • Когда малыш освоил деление простых чисел, тогда можно переходить к делению трехзначных чисел на однозначные



Деление всегда дается детям немного сложнее, чем умножение. Но усердные дополнительные занятия дома помогут малышу понять алгоритм этого действия и не отставать от сверстников в школе.

Начинайте с простого — деление на однозначное число:

Важно: Просчитайте в уме, чтобы деление получилось без остатка, иначе ребенок может запутаться.

Например, 256 разделить на 4:

  • Начертите на листе бумаги вертикальную линию и разделите ее с правой части пополам. Слева напишите первую цифру, а справа над чертой вторую
  • Спросите у малыша, сколько четверок помещается в двойке — нисколько
  • Тогда берем 25. Для наглядности отделите это число сверху уголком. Опять спросите у ребенка, сколько помещается четверок в двадцати пяти? Правильно — шесть. Пишем цифру «6» в правом нижнем углу под линией. Ребенок должен использовать таблицу умножения для правильного ответа
  • Запишите под 25 цифру 24, и подчеркните, чтобы записать ответ — 1
  • Опять спрашивайте: в единице сколько помещается четверок — нисколько. Тогда сносим к единице цифру «6»
  • Получилось 16 — сколько четверок помещается в этом числе? Правильно — 4. Записываем «4» рядом с «6» в ответе
  • Под 16 записываем 16, подчеркиваем и получается «0», значит мы разделили правильно и ответ получился «64»

Письменное деление на двузначное число



Когда ребенок освоил деление на однозначное число, можно двигаться дальше. Письменное деление на двузначное число чуть сложнее, но если малыш поймет, как производится это действие, тогда ему не составит труда решать такие примеры.

Важно: Снова начинайте объяснять с простых действий. Ребенок научится правильно подбирать цифры и ему будет легко делить сложные числа.

Выполните вместе такое простое действие: 184:23 — как нужно объяснять:

  • Разделим сначала 184 на 20, получается примерно 8. Но мы не пишем цифру 8 в ответ, так как это пробная цифра
  • Проверяем, подходит 8 или нет. Умножаем 8 на 23, получается 184 — это именно то число, которое у нас стоит в делителе. Ответ будет 8

Важно: Чтобы ребенок понял, попробуйте вместо восьмерки взять 9, пусть он умножит 9 на 23, получается 207 — это больше, чем у нас в делителе. Цифра 9 нам не подходит.

Так постепенно малыш поймет деление, и ему будет легко делить более сложные числа:

  • Разделим 768 на 24. Определите первую цифру частного — делим 76 не на 24, а на 20, получается 3. Записываем 3 в ответ под чертой справа
  • Под 76 записываем 72 и проводим линию, записываем разность — получилось 4. Эта цифра делится на 24? Нет — сносим 8, получается 48
  • Цифра 48 делится на 24? Правильно — да. Получается 2, записываем эту цифру в ответ
  • Получилось 32. Теперь можно проверить — правильно ли мы выполнили действие деления. Сделайте умножение в столбик: 24х32, получается 768, значит все правильно



Если ребенок научился выполнять деление на двузначное число, тогда необходимо перейти к следующей теме. Алгоритм деления на трехзначное число такой же, как и алгоритм деления на двузначное число.

Например:

  • Разделим 146064 на 716. Берем сначала 146 — спросите у ребенка делится это число на 716 или нет. Правильно — нет, тогда берем 1460
  • Сколько раз число 716 поместится в числе 1460? Правильно — 2, значит пишем эту цифру в ответе
  • Умножаем 2 на 716, получается 1432. Записываем эту цифру под 1460. Получается разность 28, записываем под чертой
  • Сносим 6. Спросите у ребенка — 286 делится на 716? Правильно — нет, поэтому пишем 0 в ответе рядом с 2. Сносим еще цифру 4
  • Делим 2864 на 716. Берем по 3 — мало, по 5 — много, значит получается 4. Умножаем 4 на 716, получается 2864
  • Запишите 2864 под 2864, получается в разности 0. Ответ 204

Важно: Для проверки правильности выполнения деления, умножьте вместе с ребенком в столбик — 204х716=146064. Деление выполнено правильно.



Пришло время ребенку объяснить, что деление может быть не только нацело, но и с остатком. Остаток всегда меньше делителя или равен ему.

Деление с остатком следует объяснять на простом примере: 35:8=4 (остаток 3):

  • Сколько восьмерок помещается в 35? Правильно — 4. Остается 3
  • Делится эта цифра на 8? Правильно — нет. Получается, остаток 3

После этого ребенок должен узнать, что можно продолжать деление, дописывая 0 к цифре 3:

  • В ответе стоит цифра 4. После нее пишем запятую, так как добавление нуля говорит о том, что число будет с дробью
  • Получилось 30. Делим 30 на 8, получается 3. Записываем в ответ, а под 30 пишем 24, подчеркиваем и пишем 6
  • Сносим к цифре 6 цифру 0. Делим 60 на 8. Берем по 7, получается 56. Пишем под 60 и записываем разность 4
  • К цифре 4 дописываем 0 и делим на 8, получается 5 — записываем в ответ
  • Вычитаем 40 из 40, получается 0. Итак, ответ: 35:8=4,375



Совет: Если ребенок что-то не понял — не злитесь. Пусть пройдет пару дней и снова постарайтесь объяснить материал.

Уроки математики в школе также будут закреплять знания. Пройдет время и малыш будет быстро и легко решать любые примеры на деление.

Алгоритм деления чисел заключается в следующем:

  • Сделать прикидку числа, которое будет стоять в ответе
  • Найти первое неполное делимое
  • Определить число цифр в частном
  • Найти цифры в каждом разряде частного
  • Найти остаток (если он есть)

По такому алгоритму выполняется деление как на однозначные числа, так и на любое многозначное число (двузначное, трехзначное, четырехзначное и так далее).



Занимаясь с ребенком, чаще ему задавайте примеры на выполнение прикидки. Он должен быстро в уме подсчитать ответ. Например:

  • 1428:42
  • 2924:68
  • 30296:56
  • 136576:64
  • 16514:718

Для закрепления результата можно использовать такие игры на деление:

  • «Головоломка». Напишите на листе бумаги пять примеров. Только один из них должен быть с правильным ответом.

Условие для ребенка: Среди нескольких примеров, только один решен правильно. Найди его за минуту.

Видео: Игра арифметика для детей сложение вычитание деление умножение

Видео: Развивающий мультфильм Математика Изучение наизусть таблицы умножения и деления на 2

Видео: Знакомство с делением | Забавная МАТЕМАТИКА для малышей

Видео: Деление двузначного числа на однозначное

Когда ребенок дополнительно занимается дома, он закрепляет пройденный материал в школе. Благодаря этому ему легче учиться и он не будет отставать от сверстников. Поэтому помогайте своим детям, занимайтесь дома с ними вместе. и у малыша все получится!

Видео: Деление в столбик часть 1

Видео: Деление в столбик часть 2

Видео: Деление в столбик часть 3

Видео: Деление в столбик часть 4

Видео: Деление в столбик часть 5

Многие числа нельзя разделить нацело, при делении часто присутствует остаток, отличный от нуля. В этой статье мы разберем способы деления натуральных чисел с остатком и подробно рассмотрим их применение на примерах.

Начнем с деления натуральных чисел с остатком в столбик, затем рассмотрим деление с помощью последовательного вычитания. Наконец, закончим разбором метода подбора неполного частного. Приведем алгоритм деления с остатком для наиболее общего случая и покажем, как проводить проверку результата деления натуральных чисел с остатком.

Это один из самых удобных способов деления. Подробно он описан в отдельной статье, посвященной делению натуральных чисел столбиком. Здесь мы не будем приводить всю теорию заново, но сконцентрируемся именно на случае деления с остатком.

Приведем решение примера, так как понять суть метода проще всего на практике.

Пример 1. Как делить натуральные числа с остатком?

Разделим натуральное число 273844 на натуральное число 97 .

Проводим деление столбиком и записываем:

Результат: неполное частное от деления равно 2823 , а остаток равен 13 .

Деление чисел с остатком через последовательное вычитание

Чтобы найти неполное частное и остаток, можно прибегнуть к последовательному вычитанию делителя из делимого. Этот способ не всегда целесообразен, однако в некоторых случаях его очень удобно применять. Вновь обратимся к примеру.

Пример 2. Деление с остатком через последовательное вычитание.

Пусть у нас есть 7 яблок. Нам нужно эти 7 яблок разложить в пакеты по 3 яблока. Иными словами, 7 разделить на 3 .

Возьмем из начального количества яблок 3 штуки и положим в один пакет. У нас останется 7 - 3 = 4 яблока. Теперь, из оставшихся яблок снова отнимаем 3 штуки и кладем уже в другой пакет. Остается 4 - 3 = 1 яблоко.

1 яблоко - это остаток от деления, так как на этом этапе мы уже не можем сформировать еще один пакет с тремя яблоками и деление, по сути, завершено. Результат деления:

7 ÷ 3 = 2 (остаток 1)

Это значит, что число 3 как бы умещается в числе 7 два раза, а единица - остаток, меньший чем 3 .

Рассмотрим еще один пример. На этот раз, приведем только математические выкладки, не прибегая к аналогиям.

Пример 3. Деление с остатком через последовательное вычитание.

Вычислим: 145 ÷ 46 .

Число 99 больше, чем 46 , поэтому продолжаем последовательное вычитание делителя:

Повторяем эту операцию еще раз:

В результате, нам понадобилось последовательно вычесть делитель из делимого 3 раза до того, как мы получили остаток - результат вычитания, который меньше делителя. В нашем случае остатком является число 7 .

145 ÷ 46 = 3 (остаток 7) .

Метод последовательного вычитания непригоден, когда делимое меньше делителя. В таком случае можно сразу записать ответ: неполное частное равно нулю, а остаток равен самому делимому.

Если a < b , то a ÷ b = 0 (остаток a) .

Например:

12 ÷ 36 = 0 (остаток 12) 47 ÷ 88 = 0 (остаток 47)

Также касательно метода последовательного вычитания нужно отметить, что он удобен только в случаях, когда вся операция деления сводится к небольшому количеству вычитаний. Если делимое во много раз больше делителя, использование этого метода будет нецелесообразно и связано с множеством громоздких вычислений.

Метод подбора неполного частного

При делении натуральных чисел с остатком можно вычислить результат методом подбора неполного частного. Покажем, как можно вести процесс подбора, и на чем он основан.

Во-первых, определим, среди каких чисел нужно искать неполное частное. Из самого определения процесса деления понятно, что неполное частное равно нулю, либо является одним из натуральных чисел 1 , 2 , 3 и т.д.

Во-вторых, установим связь между делителем, делимым, неполным частным и остатком. Рассмотрим уравнение d = a - b · c . Здесь d - остаток от деления, a - делимое, b - делитель, с - неполное частное.

В-третьих, не будем забывать, что остаток всегда меньше делителя.

Теперь рассмотрим непосредственно процесс подбора. Делимое a и делитель b известны нам с самого начала. В качестве неполного частного с будем последовательно принимать числа из ряда 0 , 1 , 2 , 3 и т.д. Применяя формулу d = a - b · c и вычисляя полученное значение с делителем, закончим процесс, когда остаток d будет меньше, чем делитель b . Число, взятое за с на этом шаге и будет неполным частным.

Разберем применение этого метода на примере.

Пример 4. Деление с остатком методом подбора

Разделим 267 на 21 .

a = 267 ; b = 21 . Подберем неполное частное.

Используем формулу d = a - b · c и будем последовательно перебирать c , придавая ему значения 0 , 1 , 2 , 3 и т.д.

Если с = 0 , имеем: d = a - b · c = 267 - 21 · 0 = 267 . Число 267 больше, чем 21 , поэтому продолжаем подстановку.

При с = 1 имеем: d = a - b · c = 267 - 21 · 1 = 246 . Т.к. 246 > 21 , снова повторяем процесс.

При с = 2 имеем: d = a - b · c = 267 - 21 · 2 = 267 - 42 = 225 ; 225 > 21 .

При с = 3 имеем: d = a - b · c = 267 - 21 · 3 = 267 - 63 = 204 ; 204 > 21 .

При с = 12 имеем: d = a - b · c = 267 - 21 · 12 = 267 - 252 = 15 ; 15 < 21 .

Алгоритм деления натуральных чисел с остатком

Когда рассмотренные выше методы подбора неполного частного и последовательного вычитания требуют слишком громоздких вычислений, для деления с остатком применяется следующий метод. Рассмотрим алгоритм деления натурального числа a на число b с остатком.

Вспомним, что в случае, когда a < b, неполное частное равно нулю, а остаток равен делимомому a . Мы будем рассматривать случай, когда a > b .

Сформулируем три вопроса и ответим на них:

  1. Что там известно?
  2. Что нам нужно найти?
  3. Как мы будем это делать?

Изначально известными являются делимое и делитель: a и b .

Найти нужно неполное частное c и остаток d .

Приведем формулу, которая задает связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком. a = b · c + d . Именно это соотношение мы и возьмем за основу алгоритма деления натуральных чисел с остатком. Делимое a нужно представить в виде суммы a = b · c + d , тогда мы найдем искомые величины.

Алгоритм деления, благодаря которому мы представим a в виде суммы a = b · c + d очень схож с алгоритмом деления натуральных чисел без остатка. Приведем ниже шаги алгоритма на примере деления числа 899 на 47 .

1. Первым делом смотрим на делимое и делитель. Выясняем и запоминаем, на сколько знаков число в записи делимого больше числа в делителе. В нашем конкретном примере в делимом три знака, а в делителе - два.

Запомним это число.

2. Справа в записи делителя допишем число нулей, определенное разницей между количеством знаков в делимом и делителе. В нашем случае нужно дописать один нуль. Если записанное число больше делимого, то нужно из запомненного в первом пункте числа вычесть единицу.

В нашем примере справа от 47 дописываем нуль. Так как 470 < 899 , запомненное в предыдущем пункте число не нужно уменьшать на единицу. Таким образом, число 1 так и остается у нас в памяти.

3. Справа к цифре 1 приписываем количество нулей, равное числу, определенному в предыдущем пункте. В нашем примере, приписывая к единице один нуль, получаем число 10 . В результате данного действия мы получили рабочую единицу разряда, с которым будем работать дальше.

4. Будем последовательно умножать делитель на 1 , 2 , 3 . . и т.д. единицы рабочего разряда, пока не получим число, которое больше или равно делимому.

Рабочий разряд в нашем примере - десятки. После умножения делителя на одну единицу рабочего разряда, получаем 470 .

470 < 899 , поэтому умножаем на еще одну единицу рабочего разряда. Получаем: 47 · 20 = 940 ; 940 > 899 .

Число, которое мы получили на предпоследнем шаге (470 = 47 · 10) является первым из искомых слагаемых.

5. Найдем разность между делимым и первым найденным слагаемым. Если полученное число больше делителя, то переходим к нахождению второго слагаемого.

Шаги 1 - 5 повторяем, однако в качестве делимого принимаем полученное здесь число. Если снова получаем число, большее, чем делитель, снова по-кругу повторяем пункты 1 - 5 , но уже с новым числом в качестве делимого. Продолжаем, пока полученное здесь число не будет меньше делителя. Переходим к завершающему этапу. Забегая вперед, скажем, что последнее полученное число и будет равно остатку.

Обратимся к примеру. 899 - 470 = 429 , 429 > 47 . Повторяем шаги 1 - 5 алгоритма с числом 429 , взятым в качестве делимого.

1. В записи числа 429 на один знак больше, чем в записи числа 47 . Запоминаем разницу - число 1 .

2. В записи делимого справа дописываем один нуль. Получаем число 470 . Так как 470 > 429 , из запомненного в предыдущем пункте числа 1 вычитаем 1 и получаем 1 - 1 = 0 . Запоминаем 0 .

3. Так как в предыдущем пункте мы получили число 0 и запомнили его, нам не нужно прибавлять ни одного нуля к единице справа. Таким образом, рабочим разрядом являются единицы

4. Последовательно умножим делитель 47 на 1 , 2 , 3 . . и т.д. Не будем приводить подробные выкладки, а обратим внимание на конечный результат: 47 · 9 = 423 < 429 , 47 · 10 = 470 > 429 . Таким образом, второе искомое слагаемое - 47 · 9 = 423 .

5. Разность между 429 и 423 равна числу 6 . Так как 6 < 47 , это третье, и последнее искомое слагаемое. Перейдем к завершающему этапу алгоритма деления столбиком.

6. Целью предыдущих действий было представление делимого в виде суммы нескольких слагаемых. Для нашего примера мы получили 899 = 470 + 423 + 6 . Вспоминаем, что 470 = 47 · 10 , 423 = 47 · 9 . Перепишем равенство:

899 = 47 · 10 + 47 · 9 + 6

Применим распределительное свойство умножения.

899 = 47 · 10 + 47 · 9 + 6 = 47 · (10 + 9) + 6

899 = 47 · 19 + 6 .

Таким образом, мы представили делимое в виде уже данной ранее формулы a = b · c + d .

Искомые неизвестные:неполное частное с = 19 , остаток d = 6 .

Безусловно, при решении практических примеров нет нужды расписывать все действия так подробно. Покажем это:

Пример 5. Деление натуральных чисел с остатком

Разделим числа 42252 и 68 .

Используем алгоритм. Первые пять шагов дают первое слагаемое - число 40800 = 68 · 600 .

Снова повторяем первые пять шагов алгоритма с числом 1452 = 42252 - 40800 и получаем второе слагаемое 1360 = 68 · 20

Третий раз проходим шаги аглоритма, но у же с новым числом 92 = 1452 - 1360 . Третье слагаемое равно 68 = 68 · 1 . Остаток равен 24 = 92 - 68 .

В результате получаем:

42252 = 40800 + 1360 + 68 + 24 = 68 · 600 + 68 · 20 + 68 · 1 + 24 = = 68 · (600 + 20 + 1) + 24 = 68 · 621 + 24

Неполное частное равно 621 , остаток равен 24 .

Деление натуральных чисел с остатком. Проверка результата

Деление натуральных чисел с остатком, особенно при больших числах, довольно трудоемкий и громоздкий процесс. Допустить ошибку в вычислениях может каждый. Именно поэтому, проверка результата деления поможет понять, все ли вы сделали правильно. Проверка результата деления натуральных чисел с остатком выполняется в два этапа.

На первом этапе проверяем, не получился ли остаток больше делителя. Если нет, то все хорошо. Иначе, можно сделать вывод, что что-то пошло не так.

Важно!

Остаток всегда меньше делителя!

На втором этапе проверяется справедливость равенства a = b · c + d . Если равенство после подстановки значений оказывается верным, то и деление было выполнено без ошибок.

Пример 6. Проверка результата деления натуральных чисел с остатком.

Проверим, верно ли, что 506 ÷ 28 = 17 (остаток 30) .

Сравниваем остаток и делитель: 30 > 28 .

Значит, деление выполнено неверно.

Пример 7. Проверка результата деления натуральных чисел с остатком.

Школьник разделил 121 на 13 и получил в результате неполное частное 9 с остатком 5 . Правильно ли он сделал?

Чтобы узнать это, сначала сравниваем остаток и делитель: 5 < 13 .

Первый пункт проверки пройден, переходим ко второму.

Запишем формулу a = b · c + d . a = 121 ; b = 13 ; c = 9 ; d = 5 .

Подставляем значения и сравниваем результаты

13 · 9 + 5 = 117 + 5 = 122 ; 121 ≠ 122

Значит, в вычисления школьника где-то закралась ошибка.

Пример 8. Проверка результата деления натуральных чисел с остатком.

Студент выполнял лабораторную работу по физике. В ходе выполнения ему понадобилось разделить 5998 на 111 . В результате у него получилось число 54 с остатком 4 . Все ли правильно посчитано?

Проверим! Остаток 4 меньше, чем делитель 111 , поэтому переходим ко второму этапу проверки.

Используем формулу a = b · c + d , где a = 5998 ; b = 111 ; c = 54 ; d = 4 .

После подстановки, имеем:

5998 = 111 · 54 + 4 = 5994 + 4 = 5998 .

Равенство корректно, а значит, и деление выполнено верно.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Loading...Loading...