Уравнение cos х = а
Каждый корень уравнения
cos х = а (1)
можно рассматривать как абсциссу некоторой точки пересечения синусоиды у = cos х с прямой у = а , и, наоборот, абсцисса каждой такой точки пересечения является одним из корней уравнения (1).Таким образом, множество всех корней уравнения (1) совпадает с множеством абсцисс всех точек пересечения косинусоиды у = cos х с прямой у = а .
Если | а | >1 , то косинусоида у = cos х не пересекается с прямой у = а .
В этом случае уравнение (1) не имеет корней.
При |а | < 1 получается бесконечно много точек пересечения.
для а > 0
для а < 0.
Все эти точки пересечения мы разобьем на две группы:
A -2 , A - 1 , A 1 , A 2 , ... ,
B -2 , B - 1 , B 1 , B 2 , ... ,
Точка А имеет абсциссу arccos а , а все остальные точки первой группы отстоят от нее на расстояния, кратные 2π
arccos a + 2kπ . (2)
Точка В , как легко понять из рисунков, имеет абсциссу - arccos а , а все остальные точки второй группы удалены от нее на расстояния, кратные 2π . Поэтому их абсциссы выражаются как
arccos а + 2n π . (3)
Таким образом, уравнение (1) имеет две группы корней, определяемых формулами (2) и (3). Hо эти две формулы можно, очевидно, записать в виде одной формулы
х = ± arccos a + 2mπ , (4)
где m пробегает все целые числа (m = 0, ±1, ±2, ±3, ...).
Те рассуждения, которые мы проводили при выводе этой формулы, верны лишь при
| a
| =/= 1. Однако формально соотношение (4)
определяет все корни уравнения cos
x=a
и при |а
| =1. (Докажите это!) Поэтому можно сказать, что формула (4)
дает все корни уравнения (1) при любых значениях а
, если только |а
|
<
1
.
Но все же в трех частных случаях (а = 0, а = -1, а = +1) мы рекомендуем не обращаться к формуле (4) , а пользоваться другими соотношениями. Полезно запомнить, что корни уравнения cos х = 0 задаются формулой
х = π / 2 +nπ ; (5)
корни уравнения cos х = -1 задаются формулой
х = π + 2mπ ; (6)
и, наконец, корни уравнения cos х = 1 задаются формулой
х = 2mπ ; (7)
В заключение отметим, что формулы (4) , (5), (6) и (7) верны лишь в предположении, что искомый угол х выражен в радианах. Если же он выражен в градусах, то эти формулы нужно естественным образом изменить. Так, формулу (4) следует заменить формулой
х = ± arccos a + 360° n,
формулу (5) формулой
х = 90° + 180° n и т. д.
Примеры:
\(2\sin{x} = \sqrt{3}\)
tg\({3x}=-\) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(4\cos^2x+4\sinx-1=0\)
\(\cos4x+3\cos2x=1\)
Как решать тригонометрические уравнения:
Любое тригонометрическое уравнение нужно стремиться свести к одному из видов:
\(\sint=a\), \(\cost=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)
где \(t\) – выражение с иксом, \(a\) – число. Такие тригонометрические уравнения называются простейшими . Их легко решать с помощью () или специальных формул:
Инфографику о решении простейших тригонометрических уравнений смотри здесь: , и .
Пример . Решите тригонометрическое уравнение \(\sinx=-\)\(\frac{1}{2}\).Решение:
Ответ: \(\left[ \begin{gathered}x=-\frac{π}{6}+2πk, \\ x=-\frac{5π}{6}+2πn, \end{gathered}\right.\)\(k,n∈Z\)
Что означает каждый символ в формуле корней тригонометрических уравнений смотри в .
Внимание! Уравнения \(\sinx=a\) и \(\cosx=a\) не имеют решений, если \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Потому что синус и косинус при любых икс больше или равны \(-1\) и меньше или равны \(1\):
\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cosx≤1\)
Пример
. Решить уравнение \(\cosx=-1,1\).
Решение:
\(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Ответ
: решений нет.
Пример . Решите тригонометрическое уравнение tg\(x=1\).
Решение:
|
|
Решим уравнение с помощью числовой окружности. Для этого: |
Пример
. Решите тригонометрическое уравнение \(\cos(3x+\frac{π}{4})=0\).
Решение:
|
|
Опять воспользуемся числовой окружностью. \(3x+\)\(\frac{π}{4}\) \(=±\)\(\frac{π}{2}\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac{π}{4}\) \(=\)\(\frac{π}{2}\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac{π}{4}\) \(=-\)\(\frac{π}{2}\) \(+2πk\) 8) Как обычно в уравнениях будем выражать \(x\). \(3x=-\)\(\frac{π}{4}\)
\(+\)\(\frac{π}{2}\)
\(+2πk\) \(3x=-\)\(\frac{π}{4}\)
\(+\)\(\frac{π}{2}\)
\(+2πk\) |
Сводить тригонометрические уравнения к простейшим – задача творческая, тут нужно использовать и , и особые методы решений уравнений:
- Метод (самый популярный в ЕГЭ).
- Метод .
- Метод вспомогательных аргументов.
Рассмотрим пример решения квадратно-тригонометрического уравнения
Пример . Решите тригонометрическое уравнение \(2\cos^2x-5\cosx+2=0\)Решение:
|
\(2\cos^2x-5\cosx+2=0\) |
Сделаем замену \(t=\cosx\). |
|
Наше уравнение превратилось в типичное . Можно его решить с помощью . |
|
|
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\) |
|
|
\(t_1=\)\(\frac{5-3}{4}\) \(=\)\(\frac{1}{2}\) ; \(t_2=\)\(\frac{5+3}{4}\) \(=2\) |
Делаем обратную замену. |
|
\(\cosx=\)\(\frac{1}{2}\); \(\cosx=2\) |
Первое уравнение решаем с помощью числовой окружности. |
 |
Запишем все числа, лежащие на в этих точках. |
Пример решения тригонометрического уравнения с исследованием ОДЗ:
Пример(ЕГЭ) . Решите тригонометрическое уравнение \(=0\)|
\(\frac{2\cos^2x-\sin{2x}}{ctg x}\) \(=0\) |
Есть дробь и есть котангенс – значит надо записать . Напомню, что котангенс это фактически дробь: ctg\(x=\)\(\frac{\cosx}{\sinx}\) Потому ОДЗ для ctg\(x\): \(\sinx≠0\). |
|
ОДЗ: ctg\(x ≠0\); \(\sinx≠0\)
\(x≠±\)\(\frac{π}{2}\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\) |
Отметим «нерешения» на числовой окружности. |
|
\(\frac{2\cos^2x-\sin{2x}}{ctg x}\) \(=0\) |
Избавимся в уравнении от знаменателя, умножив его на ctg\(x\). Мы можем это сделать, так как выше написали, что ctg\(x ≠0\). |
|
\(2\cos^2x-\sin{2x}=0\) |
Применим формулу двойного угла для синуса: \(\sin{2x}=2\sinx\cosx\). |
|
\(2\cos^2x-2\sinx\cosx=0\) |
Если у вас руки потянулись поделить на косинус – одерните их! Делить на выражение с переменной можно если оно точно не равно нулю (например, такие: \(x^2+1,5^x\)). Вместо этого вынесем \(\cosx\) за скобки. |
|
\(\cosx (2\cosx-2\sinx)=0\) |
«Расщепим» уравнение на два. |
|
\(\cosx=0\); \(2\cosx-2\sinx=0\) |
Первое уравнение с решим с помощью числовой окружности. Второе уравнение поделим на \(2\) и перенесем \(\sinx\) в правую часть. |
 |
|
|
\(x=±\)\(\frac{π}{2}\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cosx=\sinx\) |
Корни, которые получились не входят в ОДЗ. Поэтому их в ответ записывать не будем. |
|
Опять используем окружность. |
|
|
|
Эти корни не исключаются ОДЗ, поэтому можно их записывать в ответ. |
Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения
Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a
Уравнение cos (x) = a
Объяснение и обоснование
- Корни уравнения cosx = а. При | a | > 1 уравнение не имеет корней, по-скольку | cosx | < 1 для любого x (прямая y = а при а > 1 или при а < -1 не пересекает график функцииy = cosx).
Пусть | а | < 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции
у = cos х. На промежутке функция y = cos x убы-вает от 1 до -1. Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение cos x = а имеет на этом промежутке только один корень, который по опреде-лению арккосинуса равен: x 1 = arccos а (и для этого корня cos x = а).
Косинус — четная функция, поэтому на промежутке [-п; 0] уравнение cos x = а также имеет только один корень — число, противоположное x 1 , то есть
x 2 = -arccos а.
Таким образом, на промежутке [-п; п] (длиной 2п) уравнение cos x = а при | а | < 1 имеет только корни x = ±arccos а.
Функция y = cos x периодическая с периодом 2п, поэтому все остальные корни отличаются от найденных на 2пп (n € Z). Получаем следующую фор-мулу корней уравнения cos x = а при
x = ±arccos а + 2пп, n £ Z.
- Частные случаи решения уравнения cosx = а.
Полезно помнить специальные записи корней уравнения cos x = а при
а = 0, а = -1, а = 1, которые можно легко получить, используя как ори-ентир единичную окружность.
Поскольку косинус равен абсциссе соответствующей точки единичной окружности, получаем, что cos x = 0 тогда и только тогда, когда соответ-ствующей точкой единичной окружности является точка A или точка B.
Аналогично cos x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C, следовательно,
x = 2πп, k € Z.
Также cos х = —1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка D, таким образом, х = п + 2пn,
Уравнение sin (x) = a
Объяснение и обоснование
- Корни уравнения sinx = а. При | а | > 1 уравнение не имеет корней, по-скольку | sinx | < 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а > 1 или при а < -1 не пересекает график функции y = sinx).
Тип урока: постановка учебной задачи.
Цели урока:
Образовательная : систематизировать знания обучающихся о методах решения простейших тригонометрических уравнений, закрепить навыки работы с окружностью и таблицей.
Развивающая : продолжить работу над формированием творческих интеллектуальных способностей обучающихся через использование разнообразных приёмов решения тригонометрических уравнений.
Воспитательная : развить навыки коллективной умственной деятельности, взаимной поддержки и принятия точки зрения, отличной от собственной.
Ход урока
1. Ситуация успеха.
Решить уравнение: cosx=1; cosx=0; cosx= -1.
2. Ситуация, разрыва” между знанием и незнанием.
Решить уравнение: cosx=½; cosx=a.
Обсуждение.
3. Постановка учебной задачи.
Как решить уравнение данного вида?
1) Чему равна абсцисса точки единичной окружности полученная поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол равный: ?
2). Чему равен: 
?
Ответ:
3).Чему равно: .
Ответ:
;
;
(1)
.
Слова учителя: математики назвали слова, обратно cos “ словом арккосинус (arccos). Арккосинусом числа называется такое число , косинус которого равен a:
arccosa=α,если cosα=a и 0≤α≤π.
4). Записать равенство (1) с использованием символа arccos .
5). Решить уравнения: cosx=½, cosx=α.
Ответ: x=arccos½, x=arccosa.
6). Назвать углы поворота точки (1;0) единичной окружности имеющие абсциссу равную ½.
Ответ: абсцисса равна ½ при повороте точки на угол равный π/3 и -π/3.
т.е cosx=½ при x=±arccos½
cosx=a при x=±arccosa.
7). Чему равны абсциссы точек полученных поворотом точки (1;0) на углы: π/3+2π; π/3+6π; -π/3+4π; -π/3+8π; π/3+2πn; -π/3+2πn.
Ответ: абсцисса равна ½, и cosx=½ при x=±arccos½+2πn,.
cosx=a при x=±arccosa+2πn,.
8). Вывод: уравнение cosx=a
1) имеет корни, если ≤1,
2) не имеет корней, если >1.
9). Итог урока:
a) При каких значениях а и α имеет смысл равенство arccosа=α?
б) Что называется арккосинусом числа а?
в) При каких значениях а уравнение cosx=а имеет корни?
г) Формула нахождения корней уравнения cosx=а.
С центром в точке A
.
α
- угол, выраженный в радианах.
Определение
Синус (sin α)
- это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.
Косинус (cos α) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.
Принятые обозначения
;
;
.
;
;
.
График функции синус, y = sin x
График функции косинус, y = cos x
Свойства синуса и косинуса
Периодичность
Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2 π .
Четность
Функция синус - нечетная. Функция косинус - четная.
Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание
Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x (см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице (n - целое).
| y = sin x | y = cos x | |
| Область определения и непрерывность | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Область значений | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Возрастание | ||
| Убывание | ||
| Максимумы, y = 1 | ||
| Минимумы, y = -1 | ||
| Нули, y = 0 | ||
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Основные формулы
Сумма квадратов синуса и косинуса
Формулы синуса и косинуса от суммы и разности
;
;
Формулы произведения синусов и косинусов
Формулы суммы и разности
Выражение синуса через косинус
;
;
;
.
Выражение косинуса через синус
;
;
;
.
Выражение через тангенс
; .
При ,
имеем:
;
.
При :
;
.
Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов
В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента. 
Выражения через комплексные переменные
;
Формула Эйлера
Выражения через гиперболические функции
;
;
Производные
; . Вывод формул > > >
Производные n-го порядка:
{ -∞ <
x < +∞ }
Секанс, косеканс
Обратные функции
Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус , соответственно.
Арксинус, arcsin
Арккосинус, arccos
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Loading...