Статистическая погрешность • Физика элементарных частиц • LHC на «Элементах

Процедура измерений состоит из следующих основных эта­пов:

q принятие модели объекта измерения,

q выбор метода измере­ний,

q выбор средств измерений,

q проведение эксперимента для получения численного значения результата измерения.

Различно­го рода недостатки, присущие этим этапам, приводят к тому, что результат измерения отличается от истинного значения измеря­емой величины. Причины возникновения погрешности могут быть различны­ми. Измерительные преобразования осуществляются с использо­ванием различных физических явлений, на основании которых можно установить соотношение между измеряемой величиной объекта исследования и выходным сигналом средства измерений, по которому оценивается результат измерения. Точно установить это соотношение никогда не удается вследствие

§ неадекватности объекта исследования его прини­маемой модели,

§ невозможности точного учета влияния внешних факторов,

§ недостаточной разработанности теории физических явлений, положенных в основу измерения,

§ использования приближенных аналитических зависимостей вместо бо­лее точных, и т. д.

В результате принимаемая зависи­мость между измеряемой величиной и выходным сигналом сред­ства измерений всегда отличается от реальной, что приводит к погрешности, которую называют методическойпогрешностью измерения.

Пример, иллюстрирующий методическую погреш­ность измерения.

Объектом исследования является источник переменного на­пряжения, амплитудное значение которого U m нужно измерить. На основании предварительного изучения объекта исследования за его модель принят генератор напряжения синусоидальной формы. Используя вольтметр, предназначенный для измерений действующих значений переменных напряжений, и зная соотно­шение между действующим и амплитудным значением синусои­дального напряжения, получаем результат измерения в виде , где U v - показание вольтметра. Более тщательное изучение объекта могло бы выявить, что форма измеряемого напряжения отличается от синусоидальной. Более правильное соотношение между значением измеряемой величины и показанием вольтметра U m = kU v ,где . Таким образом, несовер­шенство принятой модели объекта исследования приводит к мето­дической погрешности измерения . Эту погрешность можно уменьшить, либо рассчитав значе­ние k анализом формы кривой измеряемого напряжения, либо заменив средство измерений, взяв вольтметр, предназна­ченный для измерений амплитудных значений переменных напря­жений.

В погрешность измерения входит погрешность средств изме­рений, используемых в эксперименте. Допускаемые значения основной погрешности средств измерений указывают в нормативно-технической документации на эти средства и могут быть указаны на самих средствах. В условиях эксперимента у применяемых средств измерений могут возникнуть дополни­тельные погрешности из-за влияния внешних факторов (напри­мер, температуры окружающей среды, внешнего магнитного по­ля), неправильной установки прибора (например, вертикальная или наклонная установка прибора, который должен устанавли­ваться горизонтально).

Следует также иметь в виду, что включение средства измере­ний в цепь, где производится измерение, может изменить режим цепи за счет взаимодействия средства измерений с цепью (с объектом измерения). Указанные погрешности, обусловленные несовершенством свойств используемых средств измерений, образуют инструментальнуюсоставляющую погреш­ности измерений.

В процессе измерения часто принимает участие экспе­риментатор. Он может внести субъективную погрешность, кото­рая является следствием индивидуальных свойств человека, обусловленных физиологическими особенностями его организма, скоростью реакции или укоренившимися неправильными навыка­ми. Например, если нескольким экспериментаторам поручить установить одно и то же значение тока в цепи по аналоговому амперметру, то при всей тщательности установки значения тока будут отличаться друг от друга.

При проведении эксперимента может появиться необходи­мость в обработке промежуточных результатов измерений Для этих целей удобно использовать средства вычислительной техни­ки (микрокалькуляторы, микро- или мини-ЭВМ). Они могут внес­ти свою составляющую погрешности, обусловленную неточно­стью выполнения вычислительных операций.

Таким образом, погрешность измерения образуется из

¨ мето­дической погрешности,

¨ инструментальной погрешности,

¨ погрешности вычислений,

¨ погрешности, вносимой оператором .

В зависимости от режима работы (статического или динами­ческого) используемого средства измерений различают погреш­ности в статическом режиме (статические погрешности) и по­грешности в динамическом режиме.

В статическом режиме изме­ряемая величина и выходной сигнал (например, отклонение указателя), по которому оценивают результат измерения, явля­ются неизменными во времени.

В динамическом режиме выход­ной сигнал изменяется во времени. Типичным примером динамического режима работы средства измерений является из­мерение изменяющейся во времени величины. При измерении постоянной величины динамический режим возникает при под­ключении средства измерений к исследуемому объекту и продол­жается до тех пор, пока выходной сигнал не достигнет постоянно­го установившегося значения. Особенностью динамического ре­жима является то, что, помимо перечисленных выше погрешно­стей, характерных для статического режима, здесь возникает погрешность, обусловленная инерционными свойствами средства измерений. Инерция (тепловая, механическая, электрическая) средства измерений приводит к тому, что выходной сигнал не сможет успевать правильно реагировать на быстрые изменения входной измеряемой величины. Погрешность, обусловлен­ную инерционными свойствами, называют динамическойпогреш­ностью и определяют ее как разность между погрешностью в динамическом режиме и статической погрешностью, соответ­ствующей значению измеряемой величины в данный момент времени.

Пример . Для измерения постоянной темпера­туры некоторой среды в эту среду вносят термочувствительный измерительный преобразователь, являющийся составной частью используемого средства измерений температуры. Вследствие теп­ловой инерции термочувствительный преобразователь не сможет сразу принять температуру окружающей среды, а будет посте­пенно прогреваться до этой температуры.

В зависимости от способа выражения погрешности измерения различают абсолютную иотносительную погрешности. Абсолют­ную погрешность Dх = х - х 0 выражают в единицах измеряемой величины. Более наглядной характеристикой точности при сравнении различных результатов измерения является относительная! погрешность . Знак относительной погрешности определяется знаком Dх . Относительная погрешность может быть выражена в процентах .

В зависимости от характера изменения погрешности во времени различают:

систематическую погрешность измерения - составля­ющую погрешности измерения, остающуюся постоянной или закономерно изменяющуюся при повторных измерениях одной и той же величины;

случайную погрешность измерения - составляющую по­грешности измерения, изменяющуюся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины.

Систематические погрешности. Наличие систематических по­грешностей может быть обнаружено путем анализа условий про­ведения эксперимента или повторными измерениями одного и то­го же значения измеряемой величины разными методами или приборами. Примером постоянной систематической погрешности может быть погрешность, обусловленная несоответствием истинного значения меры ее номинальному значению. Примером переменной систематической погрешности может быть погрешность от закономерного изменения напряжения вспо­могательного источника питания (разряд аккумулятора), если результат измерения зависит от значения этого напряжения.

Систематические погрешности могут быть в значительной степени исключены или уменьшены

o устранением источников по­грешностей или

o введением поправок, установленных предварительным изучением погрешностей приборов, применяемых при измерении,

o использованием поправочных фор­мул и кривых, выражающих зависимость погрешности от внешних условий (например, температуры),

o несколькими измерениями, проведенными определенным образом (рандомизация).

При­менение того или иного способа зависит от требуемой точности, условий проведения эксперимента, наличия поправочных формул и других причин.

Влияние случайных погрешностей на результат измерения можно уменьшить путем проведения многократных измерений одного и того же значения измеряемой величины с дальнейшей статистической обработкой полученных результатов методами теории вероятностей.

Кроме перечисленных погрешностей измерения, встречается так называемая грубая погрешность измерения, существенно превышающая ожидаемую погрешность при данных условиях. Результат измерения, содержащий грубую погрешность, иногда называют промахом. Он возникает при внезапных кратковремен­ных изменениях условий эксперимента, например, при кратковре­менном отключении источника питания, механическом ударе, при неправильном отсчете экспериментатором показаний средств из­мерений и т. п. Грубые погрешности по своей природе тоже слу­чайны и не могут быть предсказаны заранее. Их можно выявить обработкой резуль­татов повторных измерений одного и того же значения измеряе­мой величины методами теории вероятностей. После выявления они должны быть исключены.

возникают при измерении установившегося значения измеряемой величины, т.е. когда эта величина перестает изменяться во времени.

Динамические погрешности имеют место при динамических измерениях, когда измеряемая величина изменяется во времени и требуется установить закон ее изменения. Причина появления динамических погрешностей состоит в несоответствии скоростных (временных) характеристик прибора и скорости изменения измеряемой величины.

По условиям, в которых используются средства измерения, различают основную и дополнительную погрешности.

Основная погрешность измерений - погрешность, которая имеет место при нормальных условиях его эксплуатации, оговоренных в регламентирующих документах (паспорте, технических условиях и пр.).

Дополнительная погрешность средства измерения возникает при отклонении условий его эксплуатации от нормальных (номинальных). Данная погрешность, как и основная, указывается в нормативных документах.

Рассмотрим наиболее известные общие методы существенного уменьшения систематических погрешностей , к которым относятся метод замещения, метод компенсации по знаку, метод рандомизации и др.

Метод замещения состоит в такой замене измеряемой величины х и известной величиной А (мерой), получаемой с помощью регулируемой меры, чтобы показание измерительного прибора сохранилось неизменным. Значение измеряемой величины считывается в этом случае по указателю меры. При данном методе уменьшения систематических погрешностей погрешность недостаточно точного измерительного прибора устраняется, а погрешность измерения определяется только погрешностью самой меры и погрешностью отсчета измеряемой величины по указателю меры. Пусть, например, измерялось сопротивление резистора R x омметром малой точности. Результат измерения равен х = R x + Δ с, где х и Δ с - соответственно показание омметра и систематическая погрешность измерения. Заменив R x магазином сопротивлений и отрегулировав его так, чтобы сохранилось показание омметра, получим х = R M + Δ с . Из приведенных двух выражений для х следует, что R x = R M .

Метод компенсации погрешности по знаку (метод двух отсчетов или «вилочный» метод) используется для устранения систематической погрешности, у которой в зависимости от условий измерения изменяется только знак. При этом методе выполняются два измерения, результаты которых определяются выражениями: x 1 = х И + Δ с и х 2 = х и - Δ с , где х И - измеряемая величина. Среднее значение из полученных результатов (x 1 - х 2)/ 2 = х и представляет собой окончательный результат измерения, не содержащий погрешности ±Δ с. Этот метод часто используется при измерении экстремальных значений (максимума и нуля) неизвестной физической величины.

Метод противопоставления применяется в электроизмерениях для исключения систематических погрешностей при сравнении измеряемой величины с известной величиной примерно равного значения, воспроизводимой соответствующей образцовой мерой.

Способ симметричных наблюдений, который оказывается весьма эффективным при исключении прогрессивной погрешности, являющейся линейной функцией соответствующего аргумента (например, амплитуды напряжения, времени, температуры и т.д.). Измерения проводят последовательно через одинаковые интервалы изменения аргумента, а обработку полученных результатов осуществляют с учетом равенства среднего значения погрешности любой пары симметричных наблюдений погрешности, соответствующей средней точке данного интервала. Подобным образом удается исключить погрешности измерений, обуслов-ленные постепенным падением уровня напряжения источника питания (аккумулятора , батареи).

Статистическая погрешность - это та неопределенность в оценке истинного значения измеряемой величины, которая возникает из-за того, что несколько повторных измерений тем же самым инструментом дали различающиеся результаты. Возникает она, как правило, из-за того, что результаты измерения в микромире не фиксированы, а вероятностны. Она тесно связана с объемом статистики: обычно чем больше данных, тем меньше статистическая погрешность и тем точнее результат измерения. Среди всех типов погрешностей она, пожалуй, самая безобидная: понятно, как ее считать, и понятно, как с ней бороться.

Статистическая погрешность: чуть подробнее

Предположим, что ваш детектор может очень точно измерить какую-то величину в каждом конкретном столкновении. Это может быть энергия или импульс какой-то родившейся частицы, или дискретная величина (например, сколько мюонов родилось в событии), или вообще элементарный ответ «да» или «нет» на какой-то вопрос (например, родилась ли в этом событии хоть одна частица с импульсом больше 100 ГэВ).

Это конкретное число, полученное в одном столкновении, почти бессмысленно. Скажем, взяли вы одно событие и выяснили, что в нём хиггсовский бозон не родился. Никакой научной пользы от такого единичного факта нет. Законы микромира вероятностны, и если вы организуете абсолютно такое же столкновение протонов, то картина рождения частиц вовсе не обязана повторяться, она может оказаться совсем другой. Если бозон не родился сейчас, не родился в следующем столкновении, то это еще ничего не говорит о том, может ли он родиться вообще и как это соотносится с теоретическими предсказаниями. Для того, чтобы получить какое-то осмысленное число в экспериментах с элементарными частицами, надо повторить эксперимент много раз и набрать статистику одинаковых столкновений . Всё свое рабочее время коллайдеры именно этим и занимаются, они накапливают статистику, которую потом будут обрабатывать экспериментаторы.

В каждом конкретном столкновении результат измерения может быть разный. Наберем статистику столкновений и усредним по ней результат. Этот средний результат, конечно, тоже не фиксирован, он может меняться в зависимости от статистики, но он будет намного стабильнее, он не будет так сильно прыгать от одной статистической выборки к другой. У него тоже есть некая неопределенность (в статистическом анализе она так и называется: «неопределенность среднего»), но она обычно небольшая. Вот эта величина и называется статистической погрешностью измерения .

Итак, когда экспериментаторы предъявляют измерение какой-то величины, то они сообщают результат усреднения этой величины по всей набранной статистике столкновений и сопровождают его статистической погрешностью. Именно такие средние значения имеют физический смысл, только их может предсказывать теория.

Есть, конечно, и иной источник статистической погрешности: недостаточный контроль условий эксперимента при повторном измерении. Если в физике частиц этот источник можно попытаться устранить, по крайней мере, в принципе, то в других разделах естественных наук он выходит на первый план; например, в медицинских исследованиях каждый человек отличается от другого по большому числу параметров.

Как считать статистическую погрешность?

Существует теория расчета статистической погрешности, в которую мы, конечно, вдаваться не будем. Но есть одно очень простое правило, которое легко запомнить и которое срабатывает почти всегда. Пусть у вас есть статистическая выборка из N столкновений и в ней присутствует n событий какого-то определенного типа. Тогда в другой статистической выборке из N событий, набранной в тех же условиях, можно ожидать примерно n ± √n таких событий. Поделив это на N , мы получим среднюю вероятность встретить такое событие и погрешность среднего: n/N ± √n/N . Оценка истинного значения вероятности такого типа события примерно соответствует этому выражению.

Сразу же, впрочем, подчеркнем, что эта простая оценка начинает сильно «врать», когда количество событий очень мало. В науке обсчета маленькой статистики есть много дополнительных тонкостей.

Более серьезное (но умеренно краткое) введение в методы статистической обработки данных в применении к экспериментам на LHC см. в лекциях arXiv.1307.2487 .

Именно поэтому эксперименты в физике элементарных частиц стараются оптимизировать не только по энергии, но и по светимости . Ведь чем больше светимость, тем больше столкновений будет произведено - значит, тем больше будет статистическая выборка. И уже это позволит сделать измерения более точными - даже без каких-либо улучшений в эксперименте. Примерная зависимость тут такая: если вы увеличите статистику в k раз, то относительные статистические погрешности уменьшатся примерно в √k раз.

Пример 2

Если речь идет не просто о подсчетах событий, а об измерении непрерывной величины, то там статистическая погрешность тоже присутствует, но вычисляется она чуть сложнее.

Предположим, вы хотите измерить массу какой-то новой, только что открытой частицы. Частица эта рождается редко, и у вас из всей статистики набралось лишь четыре события рождения этой частицы. В каждом событии вы измерили ее массу, и у вас получилось четыре результата (мы здесь намеренно опускаем возможные систематические погрешности): 755 МэВ, 805 МэВ, 770 МэВ, 730 МэВ. Теперь можно взять область масс от 700 до 850 МэВ и поставить на ней эти четыре точки (рис. 1). Поскольку каждая точка отвечает одному событию с данной массой, мы каждой точке присваиваем погрешность ±1 событие. То, что массы разные, - совершенно нормально, поскольку у нестабильных частиц есть некая «размазка» по массе. Поэтому, согласно теории, ожидается некая плавная кривая, и когда физики говорят про массу нестабильной частицы, они имеют в виду положение максимума этой кривой. Она тоже показана на рис. 1, но только положение и ширина этой кривой заранее неизвестны, они определяются по наилучшему соответствию с данными.

Из-за того что данных очень мало, мы можем провести эту кривую так, как показано на рисунке, а можем и немножко сместить ее в стороны - и так, и эдак будет осмысленное совпадение. Вычислив среднее значение массы, можно получить положение пика этой кривой, а также его неопределенность: 765 ± 15 МэВ . Эта неопределенность целиком и полностью обязана разным результатам измерений, она и является статистической погрешностью измерения.

Если мы наберем побольше событий рождения и распада этой частицы, мы сможем увеличить статистику. На рис. 2 показано, как мог бы выглядеть тот же график, если бы у нас уже было 60 событий. Распределение событий по массе начинает приобретать какую-то форму, которая действительно отдаленно напоминает широкий пик, спадающий по краям.

Этот пример - некая симуляция того, как могло бы происходить измерение массы ρ-мезона свыше полувека назад, на заре адронной физики, если бы он был вначале обнаружен в процессе e + e – → π + π – . А теперь перенесемся в наше время.

Сейчас этот процесс изучен вдоль и поперек, статистика набрана огромная (миллионы событий), а значит, и масса ρ-мезона сейчас определена несравнимо точнее. На рис. 3 показано современное состояние дел в этой области масс. Если ранние эксперименты еще имели какие-то существенные погрешности, то сейчас они практически неразличимы глазом. Огромная статистика позволила не только измерить массу (примерно равна 775 МэВ с точностью в десятые доли МэВ), но и заметить очень странную форму этого пика. Такая форма получается потому, что практически в том же месте на шкале масс находится и другой мезон, ω(782) , который «вмешивается» в процесс и искажает форму ρ-мезонного пика.

Другой, гораздо более реальный пример влияния статистики на процесс поиска и изучения хиггсовского бозона обсуждался в новости