Случайные погрешности измерений возникают вследствие одновременного воздействия на объект измерения нескольких независимых величин, изменения которых носят флуктуационный характер. Определенный вклад в случайную погрешность измерения вносит и случайная погрешность средства измерения.
Будем полагать, что систематическая составляющая погрешности измерения исключена и Случайная погрешность, как случайная величина, полностью
характеризуется плотностью распределения вероятностей (иначе, плотностью вероятности) где функция распределения. Следовательно, определяется не численное значение случайной погрешности, а лишь вероятность того, что она заключена в некотором интервале или не превышает некоторого значения. Если известен закон распределения, то известны и Вероятность нахождения случайной погрешности в заданном интервале от до находится по формуле
Закономерность изменения случайной погрешности можно установить при многократных наблюдениях ее значений и статистической обработке результатов наблюдений.
Рис. 2-1. Плотность вероятности случайных погрешностей при нормальном законе распределения
Эта трудоемкая и кропотливая работа выполняется при точных измерениях и заключается в проверке соответствия полученных данных предполагаемому распределению по некоторому критерию.
Флуктуации влияющих величин также являются случайными и характеризуются своими законами распределения (равномерный, треугольный, нормальный и т. д.). Однако вследствие соизмеримости их дисперсий уже при 4-5 влияющих величинах результирующий закон распределения случайной погрешности измерения удовлетворительно согласуется с нормальным (рис. 2-1).
Функция распределения по нормальному закону
и плотность вероятности
где дисперсия, характеризующая рассеивание случайной погрешности относительно центра распределения, а ее среднеквадратическое отклонение.
Дисперсия и среднеквадратическое отклонение характеризуют точность измерения: чем больше тем меньше точность. В практике измерений преимущественно используется среднеквадратическое отклонение с, так как оно выражается в тех же единицах, что и измеряемая величина.
Рис. 2-2. Интеграл вероятности
Вероятность появления случайной погрешности в пределах от до в соответствии с формулой
Если ввести нормированную случайную величину правая часть равенства преобразуется в функцию Лапласа, часто называемую интегралом вероятности
Эта функция табулирована, и ее значения приведены, в табл. а график представлен на рис. 2-2.
Если задана некоторая вероятность а то, найдя можно определить При нормальном законе распределения максимальную погрешность Дмакс принимают равной что соответствует вероятности появления погрешности, превышающей Это означает, что в 369 из 370 наблюдений с вероятностью 0,9973 погрешность заключена в интервале ±3а и лишь в одном наблюдении может выйти за его пределы.
Рис. 2-3. Плотность вероятности случайных погрешностей при равномерном законе распределения
Равномерный закон распределения также встречается в измерениях. В частности, он характерен для измерения непрерывных величин методом дискретного счета. Плотность вероятности погрешности в интервале от до (рис. 2-3) записывается в следующем виде;
Следовательно, дисперсия
и среднеквадратическое отклонение
Например, погрешность квантования, которая обычно заключена в пределах единицы младшего разряда (от -1/2 до 1/2), характеризуется среднеквадратическим отклонением
Вернемся к закону нормального распределения. Этот закон характеризуется численными параметрами: математическим ожиданием и дисперсией. Точное определение этих параметров практически невозможно, так как для этого нужно иметь бесконечно большое число значений случайной величины, т. е. выполнить наблюдений при . В практике измерений всегда конечно, поэтому вычисленные в результате эксперимента значения называют
оценками математического ожидания и среднеквадратичен ского отклонения.
Рассмотрим процедуру статистического измерения некоторой величины, истинное значение которой Производят однократных наблюдений, в результате которых получают ряд случайных значений измеряемой величины . В каждом абсолютная погрешность 1-го наблюдения Определить значение этой погрешности невозможно, так как неизвестно.
За оценку математического ожидания (истинного значения) принимают среднее арифметическое значение
которое называют действительным значением А измеряемой величины при
Теперь можно вычислить абсолютное отклонение каждого результата наблюдения относительно среднего значения: Очевидно, что при Для контроля правильности вычислений можно использовать свойства отклонений результатов наблюдений от среднего арифметического: сумма отклонений равна нулю и сумма их квадратов минимальна:
Оценка среднеквадратического отклонения абсолютных отклонений каждого из однократных наблюдений определяется по формуле
Точность результата измерений будет выше. Она характеризуется оценкой среднеквадратического отклонения среднего арифметического (действительного) значения:
С увеличением числа измерений (при независимых результатах) точность увеличивается пропорционально Казалось бы, что увеличением можно получить любое увеличение точности. Однако здравый смысл и практика измерений подсказывают, что приносит мало пользы, так как сама измеряемая величина может измениться за время измерения.
Доверительный интервал и доверительная вероятность. В результате наблюдений измеряемой величины получаем оценку ее действительного значения А, равного среднему арифметическому X, в соответствии с формулой (2-11). Эта оценка также случайная величина; ее среднеквадратическое отклонение а - определяется по формуле (2-13), т. е. результат измерения содержит неопределенность. Требуется выяснить, в каких пределах может изменяться действительное значение А при повторных измерениях (статистических) величины в одних и тех же условиях, т. е. нужно найти интервал значений, который с заданной вероятностью «накрывает» истинное значение измеряемой величины. Такой интервал называют доверительным, а заданную (установленную) вероятность - доверительной. Доверительный интервал и доверительная вероятность характеризуют неопределенность результата измерения. Аналитически это записывается следующим образом:
Выражение (2-14) читается так: истинное значение измеренной величины заключено в пределах доверительного интервала от до с доверительной вероятностью а.
Аналогично для случайной погрешности
Случайная погрешность измерения заключена в пределах доверительного интервала от до с доверительной вероятностью а.
В зависимости от целей измерения доверительную вероятность устанавливают равной . В выражениях (2-14) и (2-15) доверительные интервалы симметричны. Половину доверительного интервала называют предельной (максимальной, допустимой) погрешностью при доверительной вероятности а. Иногда доверительный интервал несимметричен и имеет вид
Предельную погрешность и доверительный интервал выражают через среднеквадратическое отклонение. Для нормального закона распределения доверительный интервал по заданной доверительной вероятности (и наоборот) определяют при помощи таблицы интеграла вероятности (табл. П4). Задаются доверительной вероятностью например 0,95. По таблице находят и значение которое в данном случае равно 2. Так как то и доверительный интервал
Очевидно, что и доверительный интервал, и доверительная вероятность связаны с числом наблюдений так как Чем больше тем уже интервал. Однако, как уже было сказано выше, в практике измерений встречается редко. Для числа наблюдений доверительный интервал определяется не через а через некоторый коэффициент который зависит от числа наблюдений и доверительной вероятности а. Закон изменения коэффициента определяется распределением Стьюдента нормированной случайной величины вычисленного для с нормальным распределением. Коэффициент определяется с помощью следующей формулы:
это не промахи, т. е. не явные ошибки, допущенные оператором, то необходимо установить, не являются ли они грубыми погрешностями, которые так же нужно исключить из обработки, как и промахи. Исключение грубой погрешности без достаточных оснований приводит к необоснованному улучшению результата измерений. С другой стороны, неисключение грубой погрешности, в особенности при малом числе наблюдений, исказит как действительное значение измеренной величины, так и границы доверительного интервала. Следовательно, грубые погрешности необходимо обнаруживать и исключать.
Простейшим способом обнаружения грубой погрешности при нормальном законе распределения является сравнение абсолютной погрешности «подозрительного» наблюдения с максимальной погрешностью Если то этот результат следует отбросить и вновь вычислить значения Этот способ основан на том, что вероятность появления значения, отклоняющегося от среднего арифметического более чем на равна всего лишь 0,003.
Однако следует помнить, что при небольшом числе наблюдений хотя и с малой вероятностью, но возможно, что отброшенное число является не грубой погрешностью, а естественным статистическим отклонением данной величины. Поэтому в ответственных случаях определение грубой погрешности производится на основе теории вероятности . Устанавливается, при каком числе измерений с заданной вероятностью а можно отбросить результат наблюдения, превышающий заданное число или заданные границы.
Говоря о погрешностях измерений, следует, прежде всего, упомянуть о грубых погрешностях (промахах), возникающих вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры. Такие ошибки происходят, если, например, экспериментатор неправильно прочтет номер деления на шкале, если в электрической цепи произойдет замыкание и вследствие других подобных причин. Грубых ошибок следует избегать. Если установлено, что они произошли, соответствующие измерения нужно отбрасывать.
Не связанные с грубыми ошибками погрешности опыта делятся на случайные и систематические. Многократно повторяя одни и те же измерения, можно заметить, что довольно часто их результаты не в точности равны друг другу, а «пляшут» вокруг некоторого среднего. Погрешности, меняющие величину и знак от опыта к опыту, называют случайными.
Случайные погрешности могут быть связаны с сухим трением (из-за которого стрелка прибора вместо того, чтобы останавливаться в правильном положении, «застревает» вблизи него), с люфтами в механических приспособлениях, с тряской, которую в городских условиях трудно исключить, с несовершенством объекта измерений (например, при измерении диаметра проволоки, которая из-за случайных причин, возникающих при изготовлении, имеет не вполне круглое сечение) или с особенностями самой измеряемой величины. Рассмотрим последний случай.
Пусть мы измеряем число космических частиц, проходящих в минуту через счетчик. При достаточно больших размерах счетчика это число может составлять несколько сот или даже тысяч. Пусть в первую минуту через счетчик прошло 345 частиц. Повторяя измерение, найдем, что в разных опытах получаются разные числа (вообще говоря, не слишком отличающиеся от 345). Это происходит потому, что в нашем случае число частиц, проходящих в минуту через счетчик, является случайной величиной. Космическое излучение правильно характеризовать не числом частиц, которые прошли через счетчик за выбранную минуту, а средним числом частиц, проходящих в минуту через счетчик, и средним отклонением чисел в различных опытах.
Не следует думать, что, говоря о прохождении космических частиц через счетчик, мы выбрали исключительное явление. Подобный разброс результатов измерения наблюдается при изучении (с помощью счетчиков) числа распадов в радиоактивных источниках, при изучении очень слабых токов, когда через измерительный прибор за время измерения проходит не очень большое число электронов или ионов (например, в чувствительных масс-спектрометрах), и во многих других случаях.
Случайные погрешности эксперимента исследуются путем сравнения результатов, полученных при нескольких опытах, поставленных в одинаковых условиях. Два-три измерения следует производить всегда. Если результаты совпали, то на этом следует остановиться. Если же они расходятся, нужно попытаться понять причину расхождения. Часто она связана с тем, что прибор неисправен, ненадежно закреплен или плохо смазан, что электрические контакты не пропаяны или недостаточно зажаты. В этом случае, прежде всего, нужно попытаться исправить аппаратуру. Если устранить причину не удается, нужно произвести несколько измерений и записать все полученные результаты. Ниже мы расскажем о том, как следует поступать с полученными числами.
Систематические погрешности сохраняют свою величину. (и знак!) во время эксперимента. Они могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, неравномерно растягивающаяся пружина, неравномерный шаг микрометрического, винта, не равные плечи весов) и с самой постановкой опыта (определение скорости поезда по проходимому им расстоянию на участке, где движение происходит с небольшим ускорением, которое ускользнуло от внимания экспериментатора, влияние трения и т. д.). В результате систематических погрешностей разбросанные из-за случайных ошибок результаты опыта колеблются не вокруг истинного, а вокруг некоторого смещенного значения.
Рис. 1 поясняет различие между случайными и систематическими погрешностями. В ситуации, изображенной на рис. 1, а, систематическая погрешность
пренебрежимо мала. Измеренные значения отличаются от истинного вследствие случайных ошибок: опыта. На рис. 1, б изображены результаты опыта при наличии как случайных, так и систематических погрешностей.
При желании систематические погрешности опыта могут быть изучены и скомпенсированы путем внесения поправок в результаты измерений. Неравноплечность весов можно исследовать, меняя местами грузы на чашках весов. Неточность шкал электроизмерительных приборов можно установить, сравнивая их показания с показаниями более точных приборов, и т. д. Как правило, этого не делают. Если систематическая погрешность опыта для выбранной цели слишком велика, то обычно оказывается проще поставить новые, более точные приборы, чем исследовать погрешности старых.
Не следует думать, что различие между случайными и систематическими погрешностями является абсолютным. Оно связано с постановкой опыта. Производя измерения тока не одним, а несколькими разными амперметрами, мы превращаем систематическую ошибку, связанную с неточностью шкалы, в случайную ошибку, величина (и знак!) которой зависит от того, какой поставлен амперметр в данном опыте и т. д. Однако во всяком данном опыте – при заданной его постановке – различие между систематическими и случайными погрешностями всегда можно и нужно устанавливать с полной определенностью.
Случайные погрешности
Случайные величины, к которым относятся случайные погрешности, изучаются в теории вероятностей и в математической статистике. Мы здесь опишем – с пояснениями, но без доказательств – основные свойства и основные правила обращения с такими величинами в том объеме, который необходим для обработки результатов измерений, полученных в лаборатории. В этом параграфе мы будем предполагать, что систематические погрешности пренебрежимо малы и все ошибки сводятся к случайным. Позднее, в § 5, мы обсудим, как следует поступать в тех случаях, когда нужно принимать во внимание как случайные, так и систематические погрешности опыта.
Рассмотрим для примера данные, полученные при измерении массы тела на весах, у которых имеется область застоя из-за трения призмы на подушке (разброс результатов для наглядности преувеличен). Пусть масса тела близка к 48 мг, результат измерений удается отсчитать по шкале с точностью до 0,1 мг. Имеем:
| № опыта | |||||||||||
| Масса, мг | 48,0 | 47,9 | 47,5 | 48,2 | 48,4 | 47,8 | 48,6 | 48,3 | 47,8 | 48,1 | 48,2 |
Вместо одного нужного нам результата мы получили одиннадцать. Что делать с полученными цифрами? Как найти из них достаточно близкое к истинному значение массы тела и как оценить погрешность полученного результата? Этот вопрос подробно изучается в математической статистике. Мы здесь изложим соответствующие правила без вывода.
В качестве наилучшего значения для измеренной величины обычно принимают среднее арифметическое из всех полученных результатов:
В нашем случае получим
m ср = (48,0 + 47,9 + ... + 48,1 + 48,2) = 48,1 мг.
Этому результату следует приписать погрешность, определяемую формулой
В нашем случае
Результат опыта записывается в виде
х = x ср ± σ x .(5)
В нашем случае m = (48,10± 0,10)мг.
Рассмотрим формулы (3) и (4). Прежде всего, попытаемся понять, как зависит результат расчета от числа измерений. Формула (3) показывает, что x ср от числа измерений зависит слабо. Все слагаемые, входящие в числитель, приблизительно равны друг другу. Их сумма пропорциональна числу слагаемых. После деления на знаменатель получается величина, мало зависящая от числа измерений. Так, конечно, и должно быть. Среднее измеренное значение – при правильной методике опыта – всегда лежит вблизи истинного значения и в разных независимых сериях измерений испытывает вокруг него небольшие случайные колебания.
Погрешность опыта, определяемая формулой (4), с увеличением числа измерений п уменьшается как :
(Число членов суммы в (4) растет как п, числитель (4) поэтому увеличивается как , а все выражение уменьшается как .) Этот результат является очень важным. По мере увеличения числа опытов ошибки в сторону преувеличения и преуменьшения результата все лучше компенсируют друг друга, и среднее значение приближается к истинному. В нашем примере одиночные отсчеты отличаются от среднего на несколько десятых, а погрешность результата, полученного при усреднении всех измерений, составляет всего одну десятую.
Формула (4) может быть записана в несколько ином виде
При такой записи множитель 1/ , определяющий улучшение результата с увеличением числа измерений, вынесен из-под общего корня, а под корнем осталось среднее значение квадрата отклонений, вычисленное по всем произведенным измерениям. Этот корень определяет σ отд – среднюю (точнее говоря – среднеквадратичную) погрешность отдельного измерения:
При обсуждении смысла величины σ следует помнить, что истинную величину погрешности невозможно узнать до тех пор, пока из каких-либо других опытов (или соображений) не удастся определить искомую величину с существенно лучшей точностью. Но тогда рассматриваемые опыты потеряют значение, и их погрешность никого не будет интересовать. Как уже отмечалось, погрешность результата не столько определяют, сколько оценивают. Оценка (4) подобрана так, что при проведении многочисленных серий измерений погрешность в 2/3 случаев оказывается меньше σ x , а в 1/3 случаев больше, чем σ x .
Иначе говоря, если бы мы – в нашем случае – провели не одну серию из 11 взвешиваний, а десять таких серий, то мы могли бы ожидать, что в шести или семи из них усредненный результат будет отличаться от истинной массы тела меньше чем. на 0,1 мг. а в остальных случаях больше, чем, на 0,1 мг.
Погрешность, определенную с достоверностью 2/3, обычно называют стандартной (или среднеквадратичной) погрешностью опытов , а ее квадрат – дисперсией. Можно показать, что, как правило, погрешность опыта только в 5% случаев превосходит ±2σ и почти всегда оказывается меньше ±3σ.
На первый взгляд из сказанного можно сделать вывод, что, беспредельно увеличивая число измерений, можно даже с самой примитивной аппаратурой получить очень хорошие результаты. Это, конечно, не так. С увеличением числа измерений уменьшается только случайная погрешность опытов. Методические погрешности и погрешности, связанные с несовершенством приборов (например, с неправильностью их шкалы), при увеличении числа опытов не меняются. В приведенном выше примере результат взвешивания округлялся до десятых долей миллиграмма. Это-делалось потому, что сотых долей отсчитать было нельзя. Одна только ошибка отсчета составляет при этом около 0,1 мг. Поэтому погрешность результата ни при каком числе опытов не может быть сделана меньше. Число опытов в нашем случае было-выбрано разумно. Из приведенных в таблице цифр ясно, что при однократном измерении мы могли ошибиться на несколько десятых. Среди цифр встречаются результаты, отличающиеся на 0,3 и даже на 0,5 от среднего. После усреднения по 11 измерениям погрешность существенно уменьшилась. Но если окажется нужным узнать массу тела с лучшей, чем это мы сделали, точностью, то недостаточно просто увеличить число измерений. Придется взять более точные весы, позволяющие производить измерения не до десятых, а, скажем, до сотых долей миллиграмма.
Скажем несколько слов о формуле (4). Эта формула позволяет хорошо оценивать величину стандартной погрешности в тех случаях, когда число опытов оказывается не меньше 4–5. При меньшем числе опытов лучше применять другие, более сложные оценки. Их мы, однако, рассматривать не будем, во-первых, чтобы не удлинять и не усложнять текста, а, во-вторых, по той причине, что надежность всех этих оценок при малом числе измерений оказывается невысокой.
Систематические погрешности
Оценку систематических погрешностей экспериментатор производит, анализируя особенности методики, паспортную точность приборов и производя контрольные опыты.
Систематические погрешности электроизмерительных приборов, выпускаемых промышленностью (амперметров, вольтметров, мостов, потенциометров и т. д.), определяются их классом точности, который обычно выражают в процентах. Амперметр класса 0,2 (если он, конечно, исправен и проходит систематическую проверку) позволяет производить измерения с абсолютной погрешностью, не превосходящей 0,2% от тока, соответствующего полной шкале прибора. На всех участках шкалы – в ее начале, середине и конце – эта погрешность одна и та же.
Отметим различие в правилах определения погрешностей и в определении класса точности. Погрешности принято характеризовать среднеквадратичными ошибками. При многочисленных измерениях реальная ошибка опытов только в 2/3 случаев меньше среднеквадратичной, а в 1/3 случаев превосходит ее. Класс точности определяет максимально возможное значение погрешности. Приборы, которые могут давать – хотя бы иногда – бóльшие погрешности, должны быть отнесены к другому классу. Такое различие в определениях очень неудобно. В научных публикациях принято приводить именно среднеквадратичную ошибку, а вовсе не максимальную. Строгих формул для перевода одних погрешностей в другие не существует. Можно пользоваться следующим простым правилом: чтобы оценить среднеквадратичную погрешность измерений электроизмерительными приборами, следует погрешность, определяемую классом.точности прибора, разделить на два.
Как уже отмечалось, класс электроизмерительных приборов определяет максимальную погрешность, величина которой не меняется при переходе от начала к концу шкалы. Относительная ошибка при этом резко меняется, поэтому приборы обеспечивают хорошую точность при отклонении стрелки почти на всю шкалу и не дают ее при измерениях в начале шкалы. Отсюда следует рекомендация: выбирать прибор (или шкалу многошкального прибора) так, чтобы стрелка прибора при измерениях заходила за середину шкалы.
Говоря о систематических погрешностях опыта, следует сказать несколько слов об ошибке отсчета «на глаз». Большинство приборов не имеет нониуспых шкал. При этом доли деления отсчитываются на глаз. Эта ошибка составляет 1–2 десятых доли деления. При отсчетах следует следить за тем, чтобы луч зрения был перпендикулярен шкале. Для облегчения установки глаза на многих приборах устанавливается зеркало («зеркальные приборы»). Глаз экспериментатора установлен правильно, если стрелка прибора закрывает свое изображение в зеркале. При работе с электроизмерительными приборами отсчет должен включать число целых делений и число десятых долей деления, если отсчет может быть произведен с этой точностью (если стрелка или зайчик не ходят и не дрожат, что может сделать аккуратный отсчет невозможным).
Поясним указанное правило. Шкалы электроизмерительных приборов обычно изготовляют так, что одно деление шкалы приблизительно равно максимальной погрешности прибора. Зачем же в этом случае отсчитывать десятые доли деления? Ответ на этот вопрос читатель найдет в § 7. Забегая вперед, отметим, что при измерениях, при расчетах и при записи результатов, кроме надежно известных значащих цифр, всегда указывается одна, лишняя. Такая процедура, среди прочих, имеет и то преимущество, что позволяет вовремя замечать мелкие нерегулярности исследуемых зависимостей. Если, например, стрелка прибора при измерениях отклонилась на полделения назад, этот результат является надежным и в том случае, когда погрешность прибора равна целому делению.
Несколько слов о точности линеек. Металлические линейки очень точны: миллиметровые деления наносятся с погрешностью не более ±0,05 мм, а сантиметровые – не хуже, чем с точностью 0,1 мм. Погрешность измерений, производимых с помощью таких линеек, практически равна погрешности отсчета на глаз. Деревянными или пластиковыми линейками лучше не пользоваться: их погрешности неизвестны и могут оказаться неожиданно большими. Исправный микрометр обеспечивает точность 0,01 мм, а погрешность измерений штангенциркулем определяется точностью, с которой может быть сделан отсчет, т. е. точностью нониуса (у штангенциркулей цена делений нониуса составляет обычно 0,1 или 0,05 мм).
Случайные погрешности приводят к тому, что наблюдаемые значения измеряемой величины при многократных измерениях случайным образом рассеяны относительно ее истинного значения. Тогда действительное значение находится как наиболее вероятное из серии опытов, а погрешность характеризуют шириной интервала, который с заданной вероятностью включает истинное значение. Математическое обоснование этих положений дается в теории вероятностей, применение которой для обработки результатов измерений приведено в литературе , а непосредственное применение к работам физического практикума в литературе .
Очень часто студенты и школьники находят погрешность измерения по формуле
, (6.2)
где - полученное в процессе измерения среднее значение величины, а - значение, взятое из справочника, или рассчитанное из теоретических представлений. Такое определение погрешности является грубой ошибкой, так как целью эксперимента, как было показано выше, является проверка теоретических представлений и уточнение табличных данных.
Кроме того, часто погрешность вычисляется как среднее значение отклонений отдельных результатов измерений от среднего значения по формуле
. (6.3)
Согласно такому подходу, любое значение погрешности появляется одинаково часто, т.е. разные по величине погрешности считаются равновероятными. Этот метод можно использовать в лабораторных работах при малом числе измерений.
Однако случайные погрешности не являются равновероятными. Они требуют для своего определения статистической обработки результатов измерения. Поэтому представляется необходимым рассмотреть содержание статистической обработки результатов измерений. В основе статистической теории погрешностей лежат следующие положения:
1) при большом числе измерений наблюдаются случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака, т. е. погрешности, как в сторону уменьшения, так и в сторону увеличения, встречаются одинаково часто;
2) большие (по абсолютной величине) погрешности встречаются реже, чем малые, т.е. вероятность появления погрешности уменьшается с ростом величины погрешности;
3) погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений.
Распределение случайной величины, которое подчиняется перечисленным свойствам, называется нормальным распределением. Для оценки разбросов отдельных значений случайной величины с нормальным распределением или отдельных отсчетов в теории нормального распределения выбирается выборочное среднее квадратичное отклонение отсчетов, которое вычисляется по формуле:
. (6.4)
Оценка величины погрешности одного измерения, определяемая формулой (6.4) очень важна. Однако для измерения важной задачей является определение, с какой точностью среднее значение измеряемой величины соответствует искомой величине. Эта задача возникает в связи с тем, что среднее значение может быть получено из разных измерений. Например, среднее значение может быть получено при различном числе измерений. Поэтому эмпирическое среднее значение также является случайной величиной, которая также может описываться функцией распределения. Соответствующая этой функции величина среднего квадратичного отклонения определяется, как показано в теории вероятностей по формуле:
(6.5)
Эта величина называется выборочным средним квадратичным отклонением среднего значения илистандартной ошибкой.
Как видно из формулы стандартной ошибки (6.5), она уменьшается с ростом числа измерений и точность результата возрастает, что и соответствует предыдущим рассуждениям.
Рассмотренные выше формулы для определения ошибки измерения используют характеристики нормального распределения случайной величины. Однако неизвестно, по какому закону распределены результаты измерений. Поэтому эти оценки являются приближенными. В связи с этим возникает необходимость анализа этого подхода к определению погрешности измерения. Для такого анализа можно использовать известное в теории вероятностей понятие доверительного интервала. Пусть величина равна вероятности того, что результат измерения – среднее значение – отличается от истинного значения на величину не большую . В теории вероятностей эта фраза записывается следующим образом:
Величина называется доверительной вероятностью (надежностью) результата серии наблюдений. Она показывает вероятность, с которой доверительный интервал включает истинное значение измеряемой величины.
Доверительным интервалом называется интервал значений , который с заданной степенью достоверности включает в себя истинное значение измеряемой величины. Геометрическое представление этого интервала дано на рисунке 1.
Таким образом, для определения случайной погрешности необходимо найти или задать два числа: а именно величину самой случайной погрешности или доверительного интервала и величину доверительной вероятности.
Для любой величины доверительного интервала можно рассчитать доверительную вероятность. Для этого используется функция Лапласа, которая также называется интегралом вероятностей. Функция Лапласа имеет вид:
,
где . Чаще всего, при решении задач используют табличные значения функции Лапласа. Эти значения приведены в таблице 1.
Результаты этой таблицы показывают, что средней квадратичной ошибке соответствует доверительная вероятность 0,68, удвоенной средней квадратичной ошибке 2 соответствует доверительная вероятность 0,95, а утроенной средней квадратичной ошибке 3 – 0,997.
Таблица 1
Доверительные вероятности
для доверительного интервала, выраженного в долях средней квадратичной ошибки
. Функция Лапласа
| 1,2 | 0,77 | 2,6 | 0,990 | ||
| 0,05 | 0,04 | 1,3 | 0,80 | 2,7 | 0,993 |
| 0,1 | 0,08 | 1,4 | 0,84 | 2,8 | 0,995 |
| 0.15 | 0,12 | 1,5 | 0,87 | 2,9 | 0,996 |
| 0,2 | 0,16 | 1,6 | 0,89 | 3,0 | 0,997 |
| 0,3 | 0,24 | 1,7 | 0,91 | 3,1 | 0,9981 |
| 0,4 | 0,31 | 1,8 | 0,93 | 3,2 | 0,9986 |
| 0,5 | 0,38 | 1,9 | 0,94 | 3,3 | 0,9990 |
| 0,6 | 0,45 | 2,0 | 0,95 | 3,4 | 0,9993 |
| 0,7 | 0,51 | 2,1 | 0,964 | 3,5 | 0,9995 |
| 0,8 | 0,57 | 2,2 | 0,972 | 3,6 | 0,9997 |
| 0,9 | 0,63 | 2,3 | 0,978 | 3,7 | 0,9998 |
| 1,0 | 0,68 | 2,4 | 0,984 | 3,8 | 0,99986 |
| 1.1 | 0,73 | 2,5 | 0,988 | 3,9 | 0,99990 |
| 4,0 | 0,99993 |
Случайную погрешность принято определять как полуширину доверительного интервала. Размер доверительного интервала задается в виде значения кратного выборочному среднему квадратичному отклонению среднего значения , которое определяется по формуле (6.5). Тогда случайная погрешность многократных измерений определяется формулой.
Loading...