Классификация ошибок измерения физических величин. Расчета их погрешностей. Перечень приборов и оборудования

страница 1
1. Введение
В лабораторном практикуме Вы постоянно будете иметь дело с измерениями физических величин. Необходимо уметь правильно обрабатывать и представлять результаты этих измерений. Цель данного раздела – сообщить основные сведения, касающиеся особенностей физических измерений, обработки и представления результатов. Для более полной и детальной информации следует обращаться к специальной литературе, например .

1. 
   Погрешности измерений физических величин

Под измерением понимается операция, в результате которой определяется во сколько раз интересующая величина больше или меньше величины той же природы, принятой за единицу. Т.о. измерение является актом сравнения: расстояние сравнивается с единицей расстояния, время – с единицей времени, ток – с единицей тока и т.д. Единицы измерения при этом должны быть предварительно определены. В лабораторном практикуме необходимо придерживаться международной системы единиц СИ.

Часто одну и ту же величину можно измерить разными способами . Например, высоту здания можно измерить:

1. 
   с помощью рулетки,
2. 
   с помощью секундомера, определив время свободного падения небольшого по размерам металлического шарика,
3. 
   с помощью рулетки, угломера и лазера, определив расстояние от здания до лазера и угол, под которым лазерный луч направлен на вершину здания,
4. 
   и т.д.

Анализируя подобные ситуации можно придти к следующему выводу:

измерения бывают прямые и косвенные . В случае прямого измерения значение искомой величины непосредственно определяется с помощью прибора, шкала которого проградуирована в единицах измерения этой величины. В случае косвенного измерения значение величины вычисляется по формуле, которая связывает искомую величину с другими, измеренными прямо или косвенно.

Очевидно, в нашем примере первое измерение высоты является прямым, а второе и третье – косвенными.

Измерение можно производить как однократно , так и многократно , пытаясь воспроизвести одни и те же условия.

Если мы произведём многократные измерения высоты здания последовательно каждым из трёх способов, то сравнение результатов измерений между собой приведёт нас к очень интересным и важным выводам:

1. Результаты измерений первым способом могут отличаться от результатов измерений вторым способом, а последние, в свою очередь, от результатов измерений третьим способом и т.п.

Разные способы измерения одной и той же величины могут давать разные её значения.

2 . Результаты многократных измерений с помощью одного и того же способа тоже могут отличаться друг от друга.

Многократные измерения одной и той же величины одним и тем же способом могут дать разные её значения.
Проанализируем сложившуюся ситуацию.

Сначала выясним, почему разные способы измерения одной и той же высоты привели к разным результатам.

На первый взгляд, первый способ является самым надёжным. Мы прикладываем ленту рулетки к поверхности здания и определяем искомую высоту. Более внимательный анализ показывает, что это не совсем так. Оказывается, здание имеет небольшой наклон, а стена в том месте, где производятся замеры, имеет определённую кривизну – она является выпуклой, причём в сторону улицы. Это означает, что мы измеряли не высоту здания, а длину стены, связанную с высотой.

Второй способ представляет собой косвенное измерение. Измерив время падения шарика, мы рассчитываем высоту по известной формуле для свободного падения: h = gt 2 /2. На этот раз измерение действительно касается высоты. Но, мы забыли о том, что шарик движется в воздухе и, следовательно, испытывает сопротивление среды. Поэтому рассчитанная по формуле величина также не является истинным значением высоты здания.

Третье измерение, как и второе, является косвенным. Высота определяется из геометрических соображений: в прямоугольном треугольнике длина противолежащего катета равна произведению длины прилежащего катета на тангенс угла. В нашем случае высота играет роль одного катета, а расстояние от лазера до здания – роль другого. На этот раз нас подвело предположение об идеально горизонтальной поверхности, на которой стоит здание. Результат – опять измерили величину, которая не является высотой, но теперь по другой причине.

Итак, в каждом способе присутствуют какие-то постоянные факторы (в каждом случае свои, причём их может быть несколько), которые приводят к появлению систематической погрешности измерения данным способом. Каждый раз при измерении значения одной и той же величины в одних и тех же условиях систематическая погрешность имеет одно и то же значение. Если эти факторы учесть, введя соответствующие поправки, то можно приблизиться к реальному значению измеряемой величины и тогда результаты измерений разными способами (с учётом поправок на систематическую погрешность) могут оказаться довольно близкими. Таким образом, в принципе систематические погрешности могут быть учтены и даже исключены , хотя осуществление этого на практике может оказаться довольно непростой задачей.

Теперь попытаемся выяснить, почему многократные измерения одной и той же высоты одним и тем же способом (включая один и тот же комплект приборов) могут приводить к отличающимся друг от друга значениям. Это связано с целым рядом факторов, действующих случайным образом . В рассмотренном примере могут быть небольшие механические колебания почвы, здания и приборов, тепловые воздействия, связанные с изменением линейных размеров стены и используемых приборов и т.п. Наконец, есть ещё человеческий фактор, связанный с восприятием происходящих процессов и реакцией на это восприятие. В результате, при повторных измерениях одной и той же величины могут получаться различные её значения, связанные со случайными погрешностями . От измерения к измерению случайная погрешность может изменять как свой знак, так и свою величину. В силу случайного характера воздействий заранее предсказать величину такой погрешности невозможно .
Наш анализ вызывает закономерные вопросы:

1. 
   Что такое «истинное» значение измеряемой величины?
2. 
   Как представлять результаты измерений с учётом погрешностей?

Поскольку эти вопросы касаются не только рассмотренного примера, но

и любых других измерений, мы перейдём к обобщениям и выработке общих рекомендаций.

Приведённый конкретный пример продемонстрировал общее свойство, характерное для любых измерений, – любое измерение сопровождается погрешностями .

Это свойство, в конечном счёте, обусловлено тем, что всякое измерение предполагает определённую взаимосвязанную цепочку участников процедуры измерения: наблюдатель – измерительный прибор – анализируемый объект – «внешняя среда».

Элементы этой цепочки связаны огромным количеством взаимодействий и движений. В процессе измерения анализируемый объект, измерительный прибор и наблюдатель могут быть подвержены различным влияниям (в том числе и взаимным), что и сказывается на результате измерений.

Безусловно, если уменьшать влияния, не имеющие непосредственного отношения к процедуре измерения, и стараться учитывать неустранимые влияния, то точность наших измерений будет возрастать. Но абсолютно точное измерение невозможно принципиально. И это во многом связано с природой самих измеряемых величин.

Если мы, например, захотим абсолютно точно измерить длину металлического стержня, то обнаружим наличие принципиально неустранимых (хотя и очень малых) колебаний кристаллической решетки. Никакой абсолютно точной «истинной» длины у стержня нет. Она постоянно случайным образом изменяется, отклоняясь в ту или иную сторону от некоторого наиболее часто встречающегося значения. Вот это значение мы можем принять за «истинное» значение длины и в дальнейшем оперировать именно с ним, говоря о длине стержня, или используя эту величину для каких-либо расчётов, например, для определения объёма стержня.

Такого рода ситуация обнаруживается во множестве других измерений. Сами измеряемые величины случайным образом могут изменяться, что обусловлено, как уже сказано выше, физической природой этих величин. Таким образом, мы сталкиваемся с принципиальной неустранимостью случайных факторов . Их можно свести к минимуму, но окончательно избавиться от них нельзя. Следовательно, представляя результаты измерений, мы должны давать информацию, касающуюся нашей оценки «истинного» значения величины с учётом случайных погрешностей измерения (при условии, что систематическая погрешность исключена или учтена в виде соответствующей поправки). Понятно, что наиболее полно такая информация может быть представлена по результатам многократных измерений.

1. Обработка и представление результатов

многократных измерений

Допустим, что мы n раз измерили значение некоторой величины x . Вследствие случайных факторов получается совокупность n различных значений одной и той же величины x . Эта совокупность значений получила название конечной выборки . Пусть максимальное измеренное значение равно x max , минимальное – x min . Представим результаты измерений в графической форме. Для этого предварительно проведём некоторую их обработку. Разобьём полный интервал изменения величины x на m более мелких интервалов и введём величину интервала x = (x max – x min )/m . Для каждого такого интервала определим количество измерений n , для которых значение величины x попадает в рассматриваемый интервал. Определим величину у = (n / n )/ x и построим график зависимости y (x ) . Величина  n / n в этом отношении определяет долю от общего числа измерений , приходящуюся на выбранный интервал . Пример возможного такого графика приведён на рис.1.

Р
ис.В.1. Гистограмма результатов измерений величины x
График представляет собой столбчатую диаграмму, которая называется гистограммой . Гистограмма достаточно наглядно демонстрирует нам как распределены значения результатов измерений : одни значения величины x в процессе измерений получались довольно редко, другие - более часто, а какие-то - очень часто. На некоторый интервал x приходится максимальное значение величины y .

Из опыта следует, что при увеличении числа измерений гистограмма будет принимать простую и вполне определённую форму, которая для множества различных экспериментов оказывается универсальной. Если совершить предельный переход: n   ,  x  0 , то гистограмма превратится в непрерывную кривую, которая описывается функцией следующего вида:

f (x ) = A exp.{-(x- x  ) 2 /2  2 }. (В.1)
Эта зависимость получила название функции распределения Гаусса или закона нормального распределения Гаусса . Её график изображён на рис.В.2. Изображённая непрерывная кривая является, таким образом, предельным распределением или, как его ещё называют, генеральным распределением .

Предельное распределение – это теоретическая идеализация , к которой никогда нельзя абсолютно точно приблизиться в эксперименте. Чем больше количество измерений, тем ближе гистограмма к предельному распределению. Теоретическая идеализация , хотя и не достижима, очень важна: она демонстрирует предельные возможности распределения результатов в данном эксперименте . Если бы могли получить в эксперименте предельное распределение, то информация, содержащаяся в нём, была максимально возможной и полной.

Следует подчеркнуть, что не все предельные распределения имеют вид нормального распределения Гаусса. Но такое распределение чаще всего будет соответствовать Вашим экспериментальным данным. По этой причине мы рассматриваем именно это распределение. Возможно, в дальнейшем Вы познакомитесь и с другими распределениями.

Нормальное (генеральное) распределение характеризуется двумя параметрами:

1. 
   генеральным средним значением x  ,
2. 
   генеральным отклонением  .

Генеральное среднее представляет собой то значение x , на которое приходится максимум функции распределения Гаусса . Значения случайной величины x распределены относительно x  симметрично (кривая нормального распределения имеет ось симметрии, проходящую через координату x  ).

Рис.В.2. Функция распределения Гаусса

Генеральное отклонение представляет собой меру ширины кривой нормального распределения . Чем меньше значение  , тем быстрее уменьшается значение функции Гаусса по мере удаления значения x от величины генерального среднего, тем уже кривая нормального распределения, меньше разброс значений измеряемой величины и, следовательно, точнее измерение.

Функция распределения Гаусса позволяет рассчитать долю измерений, приходящуюся на интересующий интервал значений величины x :

, (В.2)

где x 1 - нижняя граница выбранного интервала значений величины х ,

x 2 – верхняя граница выбранного интервала значений величины х .
Функция распределения Гаусса (В1) удовлетворяет условию нормировки:

.

Поэтому (В2) можно интерпретировать как вероятность P того, что «истинное» значение измеряемой величины оказывается в интересующем интервале. Из геометрического смысла интеграла следует, что площадь под кривой нормального распределения в пределах выбранного интервала (см. рис.В.2), отнесенная к полной площади под всей кривой, должна давать величину этой вероятности и, соответственно, значение Δ n / n .

Используя вероятностный смысл функции Гаусса, можно показать, что среднее значение измеряемой величины, определяемое как

в случае нормального распределения совпадает с x  , т.е.= x  . Поэтому величина x  и получила название среднего значения генерального (нормального) распределения или генерального среднего.

Аналогично можно показать, что значение  совпадает с величиной стандартного или среднеквадратичного отклонения , квадрат которого для нормального распределения определяется выражением ∫(x – ) 2 f dx . Поэтому  называется среднеквадратичным (стандартным) отклонением генерального (нормального) распределения или генеральным отклонением . Среднеквадратичное отклонение характеризует среднюю меру разброса (отклонения) случайной величины x от среднего значения . Обратите внимание, сначала суммируются (интегрируются) значения величины (x – ) 2 - квадраты всех отклонений от среднего. Квадратный корень из этой суммы и даёт величину среднеквадратичного отклонения (с определением связано название величины). Если бы суммировались сами отклонения, т.е. величины (x – ), то в силу симметрии нормального распределения Гаусса результат был бы равен нулю. Это обусловлено тем, что отрицательные и положительные по знаку отклонения являются равновероятными. По этой причине в качестве средней меры отклонения случайной величины от среднего используется именно среднеквадратичное отклонение .

Возьмём интервал (x  - Δx , x  + Δx ), границы которого симметричны по отношению к генеральному среднему. Пользуясь (2), для нормального распределения можно определить вероятность P попадания «истинного» значения измеряемой величины в этот интервал. Если вероятность определена, то интервал называется доверительным интервалом измерения , а вероятность называют доверительной вероятностью или надёжностью измерения . Надёжность измерения выражается или в долях единицы или в процентах и зависит от величины выбранного интервала.

Если задан доверительный интервал с указанием величины надёжности (вероятности P ), то информация о результатах измерения считается представленной с учётом случайных погрешностей измерения. Величина Δx , характеризующая ширину доверительного интервала, называется доверительной погрешностью.

В качестве доверительного интервала для нормального распределения чаще всего используется интервал (x  -, x  +), связанный со стандартным отклонением. Величина доверительной вероятности для такого интервала составляет приблизительно 68,3%.

Если взять Δx = 2 , то P = 95,5%. При Δx = 3 величина P = 99,7%. Последнее, например, означает, что вероятность обнаружить результат измерения величины x за пределами интервала (x  -3 , x  +3 ) составляет всего 0,3%. Можно считать, что практически «истинное» значение измеряемой величины находится в этом интервале.

От функции распределения Гаусса, которая является теоретической предельной идеализацией, вернёмся теперь к нашему реальному распределению (см. рис.В1), в котором количество измерений n представляет собой конечную величину. Как в этом случае определяется доверительный интервал и представляются результаты измерений?

Аналогом величины x  выступает величина выборочного среднего значения (среднеарифметического для конечной выборки):
=

. (В.3)

Аналогом величины  является величина выборочного среднеквадратичного отклонения:

S x =

, (В.4)
Чтобы получить оценку доверительного интервала для конечного числа измерений приходится вводить величину t s – коэффициент Стьюдента (псевдоним английского математика В.С.Госсета). Только введение этого коэффициента позволяет определить доверительную вероятность для заданного интервала значений или определить интервал для заданной величины вероятности. Последняя из этих двух операций более простая, поэтому мы будем поступать именно так. Значения коэффициента Стьюдента для различных значений n и P определяются по специальной таблице, фрагмент которой имеет вид:
Таблица В.1

З


начения коэффициента Стьюдента

Задав необходимое значение надёжности измерения (вероятности P ), находим по таблице величину t s , соответствующую проведённому количеству измерений n . Например, для P = 80% при n = 5 значение t s = 1.5.

Величина доверительной погрешности измерения находится по формуле:

Δx = t s S x /

. (В.5)

Чем большее значение надёжности измерения выбирается, тем больше значение коэффициента Стьюдента и тем больше ширина доверительного интервала (больше величина доверительной погрешности). С ростом числа измерений величина t s уменьшается.

Результат многократного измерения представляется в следующей форме:
± Δx (n = ... , P = ...).

В скобках указывается количество измерений и значение доверительной вероятности, соответствующее доверительной погрешности .

Такая форма записи является наиболее информативной, т.к. она содержит данные не только о среднем значении измеренной величины и погрешности измерения, но и оценку надёжности результата.

1. 
   Приборная погрешность

В настоящее время существует огромное количество разнообразных измерительных приборов, отличающихся конструкцией, принципом работы и точностью. Точность прибора либо задаётся классом точности, либо указывается в паспорте, прилагаемом к прибору

Измерительные приборы вносят свой вклад в погрешность измерения, зависящий от точности прибора. Соответствующую величину принято называть приборной погрешностью . В общем случае она может иметь две составляющие – систематическую и случайную . У правильно настроенного и поверенного измерительного прибора систематическая погрешность либо отсутствует, либо просто учитывается.

Для определения приборной погрешности, связанной со случайными факторами, мы будем пользоваться следующими правилами:

1. 
   Если прибор имеет класс точности (его величина указывается в паспорте и (или) на шкале прибора), то приборная погрешность определяется формулой:

• 
  = k ·П/100, (В.6)

где k – величина класса точности прибора,

П – предел измерения прибора.

1. 
   Если прибор не имеет класса точности , то приборная погрешность определяется половиной цены деления шкалы прибора.

Так определяемая приборная погрешность показывает максимально возможное отклонение показаний прибора от «истинного» значения измеряемой величины, обусловленное случайными факторами, связанными с процедурой измерения с помощью данного прибора. Ей соответствует значение доверительной вероятности P =100%.

Если в процессе многократных измерений выясняется, что основной вклад в случайную погрешность вносит приборная погрешность, то в данном эксперименте можно ограничиться однократными измерениями. На практике мы чаще всего имеем дело именно с ними. В этом случае оценка «истинного» значения измеряемой величины будет определяться однократным показанием прибора , а оценка погрешности измерения – приборной погрешностью . Если же основной вклад определяется не приборной погрешностью, то принципиальным становится именно проведение многократных измерений. В таком случае необходимо проводить статистическую обработку результатов многократных измерений (см.п.1.2). В качестве оценки «истинного» значения при этом будет выступать величина среднего значения , а в качестве оценки погрешности – доверительная погрешность .

1. . Представление результатов однократных измерений

Часто для практических целей достаточно произвести однократное измерение интересующей величины. В этом случае невозможно оценить погрешность, связанную со всеми случайными факторами «внешней среды», но мы должны быть уверены, что она достаточно мала. Чтобы убедиться в этом необходимо хотя бы раз произвести многократное измерение величины и определить случайную погрешность. Но в любом случае остаются погрешности связанные с использованием для измерения конкретных приборов.

Поэтому результат однократного измерения представляется в виде :
x ± δx ,
где x – значение величины, полученное в процессе однократного прямого или косвенного измерения,

δx - погрешность однократного измерения.

Количество измерений (одно) и доверительная вероятность P (100%) в этом случае не указываются , в отличие от результата многократного измерения.

Величина δx в случае прямого однократного измерения представляет собой приборную погрешность (см.п.1.3).

Возникает закономерный вопрос об определении погрешности косвенного измерения в этой ситуации. Перед тем как дать общий рецепт рассмотрим достаточно простой частный случай такого определения.

Пусть стоит задача измерения объёма куба. Самый простой способ решения задачи связан с измерением L - длины ребра куба. После того как она определена, величина объёма куба рассчитывается по формуле V =L 3 .

Если измерение L производилось однократно с помощью линейки, то результат такого прямого измерения представляется так:
L ± δL ,
где L – значение длины ребра, полученное в процессе однократного измерения,

δL - погрешность прямого измерения, равная погрешности линейки.

Логично потребовать, чтобы результат косвенного измерения объёма имел вид:

V ± δV .
Значение объёма V рассчитывается по формуле, связывающей его со значением длины ребра L . Остаётся определить величину δV - погрешность для косвенного измерения объёма. Очевидно, эта величина каким-то образом должна быть связана с величиной δL . Чтобы обнаружить эту связь нам придётся снова обратиться к процедуре многократного измерения, но результат, который мы при этом получим, будет справедлив и для однократных измерений.

Пусть в процессе многократных измерений мы получили для одного и того же куба множество значений величины L , измеренной прямым способом, и соответствующее множество величины V , рассчитанной по формуле. Каждому значению L i первого множества соответствует вполне определенное значение V i второго множества. На рис.В.3 представлен график зависимости V =L 3 , на котором изображены точки, соответствующие результатам многократных измерений, произведённых для одного и того же куба (разброс значений очень сильно преувеличен). На оси L выделен интервал ΔL , характеризующий разброс значений длины ребра, полученный в процессе многократных прямых измерений. На оси V выделен соответствующий интервал ΔV , характеризующий разброс значений объёма, полученный в процессе вычислений. Эти интервалы определяют погрешности измерений величин L и V . Будем считать, что ΔL и ΔV достаточно малые величины по сравнению со значениями L и V . Тогда их очень просто можно связать между собой. Из треугольника (см. рис.В.3) следует ΔV = tg(α) ΔL =

ΔL .

Р
ис.В.3. Экспериментальные точки на графике зависимости объёма куба от длины его ребра (разброс значений сильно преувеличен)
Очевидно, для однократного измерения роль ΔL играет погрешность линейки δL , а роль ΔV – интересующая нас величина δV . Поэтому в случае однократного измерения получаем:
δV = tg(α) δL =

 L .
Где значение производной

= 3L 2 определяется при значении L , полученном в результате однократного прямого измерения.

Мы получили связь погрешностей прямого и косвенного измерения для частного случая. Обобщим результат на произвольную ситуацию . Пусть величина y определяется из косвенных измерений (см. п. 1.1) и является функцией нескольких независимых величин (независимых переменных), которые в свою очередь измерены либо прямо, либо косвенно. В качестве таких «переменных» могут, в частности, выступать и константы, значения которых определяются и используются при вычислениях с определённой точностью, следовательно, сами константы также как и другие величины характеризуются погрешностью.

Обозначим независимые величины x 1 , ..., x n , и соответствующие им погрешности - δx 1 , ..., δx n . Явный вид функции y = f (x 1 , ..., x n) должен быть известен. Будем считать, что каждая величина x i вносит свой независимый вклад в погрешность величины y. В таком случае погрешность δy определяется следующим образом:


(В.7)
В качестве примера рассмотрим определение погрешности для косвенного измерения скорости. Пусть с помощью рулетки мы произвели однократное измерение расстояния x , пройденного телом в метрах, а с помощью секундомера – затраченное на это время t в секундах. Погрешность δx в этом случае представляет собой приборную погрешность линейки и является известной величиной. Погрешность δt является приборной погрешностью секундомера. Значение скорости определяется по формуле v = x/t , поэтому скорость является функцией двух величин. В соответствии с общей формулой (В.7), определяем выражение для расчёта погрешности скорости:


. (В.8)
Результаты однократных измерений всех трёх величин теперь могут быть представлены в стандартной форме (без указания количества измерений и величины доверительной вероятности):
прямые измерения: (x ± δx ) м,

(t ± δt ) с,

косвенное измерение: (v ± δv ) м/с.
Величины δx и δv представляют собой приборные погрешности линейки и секундомера, а величина δv , оказывается связанной с ними определённым соотношением (В.8).
1.5. Оформление результатов измерений
При оформлении результатов измерений необходимо придерживаться нескольких простых общепринятых правил. Это сделает Ваши записи наглядными и понятными.

1. 
   Запись результата измерения какой-либо величины требует предварительного округления значений самой величины и её погрешности . Сначала производится округление погрешности до первой значащей цифры (расчёт погрешности должен быть произведён с точностью до двух значащих цифр). При этом окажется, что первая значащая цифра будет соответствовать определённому порядку или разряду (например, десяткам, единицам, десятым долям и т.п.). После этого производится округление значения измеренной величины до того же самого порядка (разряда) . Например, если погрешность составляет единицы, то значение измеренной величины округляется до единиц.

Примеры правильных записей результатов:
L = (125 ± 3) м;

t = (0,067 ± 0,002) c;

g = (9,83 ± 0,01) м/с 2 (n = 10, P = 90%).

1. 
   Если значения измеренной величины и её погрешности очень малы или велики, то используется показательная форма записи , в которой за скобки выносится общий десятичный множитель, например:

e = (1,6 ± 0,5) 10 -19 Кл,

m = (9 ± 1) 10 -31 кг.

1. 
   Результаты большого количества измерений принято заносить в таблицы . В этом случае информация представляется наглядно и компактно. Предварительно необходимо продумать структуру таблицы и последовательность расположения информации в ней .

Таблицы могут быть горизонтального или вертикального исполнения. В первом случае значения одной и той же величины располагаются в строке, во втором – в столбце. При большом количестве измерений чаще используется второй вариант. В начале каждой строки (столбца) пишется название или символ (обозначение) соответствующей величины и указывается единица измерения. Если измеряемые величины очень малы или велики, то используется показательная форма записи чисел. В этом случае десятичный множитель не ставится у каждого значения величины, а выносится в начало строки или столбца и записывается перед единицей измерения.

В качестве примера приведём таблицу, представляющую результаты обработки многократного измерения величины x :

Таблица В.2

i	x i , 10 -3 м	(x i -) , 10 -3 м	(x i -) 2 , 10 -6 м 2
4 5	1,8 1,7 1,9	-0,14 -0,24 -0,04	0,0256 0,0676 0,0196 0,0578 0,0016
x = (1,9 ± 0,2)·10 -3 м, (n = 5, P =90%)

Приступая к измерениям, необходимо сразу заносить результаты измерений в заранее подготовленную таблицу.

1. 
   Функциональная зависимость одной величины от другой должна быть представлена графиком. График – это самый наглядный способ представления информации в этом случае. Для более надёжного построения графиков следует пользоваться миллиметровой бумагой Принято по горизонтальной оси графика откладывать значения независимой переменной. По вертикальной - значения функции этой переменной. Прежде чем строить график, определите, что в анализируемой ситуации является причиной (ей соответствуют значения независимой переменной), а что – следствием (ей соответствуют значения функции).

В качестве примера на рис.4 изображён график зависимости силы тока проводящего элемента от приложенного к нему напряжения.

Р
ис.В.4. Зависимость силы тока проводящего элемента от напряжения

По каждой оси графика через равные интервалы наносятся масштабные метки. Масштаб для каждой оси выбирается индивидуально. Сначала необходимо определить диапазон изменения значений представляемых величин. Масштаб выбирается так, чтобы экспериментальные точки максимально распределились вдоль каждой из осей. При этом в частности, необходимо решить - являются ли важными для представления результатов нулевые значения аргумента и функции. Последнее определит значения масштабных меток начала координат (если нули важны, то это будут нулевые метки, если нет – то не обязательно).

Около координатных осей указываются символы (обозначения) величин и единицы их измерений . При необходимости применения показательной формы записи у единиц измерений ставятся десятичные множители.

Экспериментальные точки наносятся только после того, как поставлены масштабные метки и указаны обозначения осей с единицами измерений. Численные значения величин, соответствующие экспериментальным точкам, на осях не указываются . Сами точки должны быть достаточно выделяющимися.

Если на одних и тех же осях представляется несколько экспериментальных графиков, то для обозначения разных наборов точек рационально использовать разные символьные изображения, например: ●, ○, ■, □, ▲, Δ. При необходимости кроме самих значений величин на графиках указываются соответствующие им погрешности . Это делается с помощью горизонтальных и вертикальных чёрточек, пересекающих экспериментальные точки (см. рис.В4). Длина каждой чёрточки определяется погрешностью измерения соответствующей величины.

По массиву экспериментальных точек проводят «наилучшую» плавную кривую . Не должно быть простого соединения точек ломаной линией. Эти изломы, как правило, не соответствуют действительности.

Существуют специальные математические методы определения «наилучшей» кривой. Вам придётся это делать «на глазок», используя три простых принципа:

1. 
   ожидаемая зависимость в лабораторном практикуме чаще всего известна, следовательно, понятно кривую какого вида надо проводить,
2. 
   кривая должна быть плавной, без изломов (если это не какой-либо специальный случай),
3. 
   кривая должна проходить по массиву экспериментальных точек так, чтобы отклонения разных точек от кривой наилучшим образом компенсировали друг друга (например, точкам, лежащим выше кривой, должны соответствовать точки, лежащие ниже).

Если предварительно рассчитана теоретическая зависимость, то имеет смысл представить график этой зависимости в тех же осях, что и график экспериментальной. Это позволит провести сравнительный анализ ожидаемых и полученных результатов.

1. 
   Протокол

Для оформления результатов лабораторных измерений разработана единая универсальная форма – протокол . Он позволяет представить результаты максимально компактно и информативно. Последовательность пунктов протокола отражает последовательность действий экспериментатора, начиная от постановки задачи – формулировки цели конкретной работы, заканчивая анализом полученных результатов и выводом, следующим из этого анализа. Каждый пункт протокола одинаково важен .

Протокол выполняется на одной стороне листов формата А4 . Таблицы, рисунки и графики выполняются карандашом, записи – авторучкой. Первым листом протокола является титульный лист (см. рис.В.5).

Рис.В.5. Титульный лист протокола
Ниже приведены основные сведения, касающиеся пунктов протокола.

1. 
   Цель работы

В пункте формулируется цель конкретной лабораторной работы.

1. 
   Таблица измерительных приборов

В таблице приводятся основные сведения об используемых измерительных приборах.

1. 
   Исходные данные и рабочие формулы

В пункте приводятся данные из паспорта экспериментальной установки, константы, необходимые для вычислений, и формулы, по которым будут вычисляться величины и их погрешности в данной лабораторной работе .

1. 
   Электрическая схема установки

Этот пункт приводится только в том случае, если измерения связаны с

электрической схемой.

1. 
   Таблица измерений

В пункте приводится таблица, в которую заносятся результаты прямых и

косвенных измерений.

1. 
   Расчёт

В пункте приводится по одному примеру расчёта каждой величины и её погрешности . Для этого показывается подстановка конкретных значений в рабочую формулу и записывается полученный при этом результат вычислений.

1. 
   Результаты

Приводятся окончательные результаты измерений: полученное среднее значение с погрешностью, таблица результатов или график.

1. 
   Вывод

В пункте приводится вывод, полученный в процессе анализа результатов

эксперимента. Вывод должен касаться сравнения теоретических предсказаний с экспериментальными данными, характерных значений полученных величин и их погрешностей, возможных факторов, определяющих систематические погрешности измерений.

1. 
   Литература

Приводится список литературы, использованной в процессе подготовки и при выполнении лабораторной работы.

1. 
   Приложение к протоколу

Как было сказано выше, протокол является формой представления результатов лабораторных измерений с их последующей математической обработкой.

Для ряда лабораторных работ требуется до выполнения измерений получить ожидаемые теоретические результаты. Это позволяет студентам, во-первых, лучше разобраться с тем кругом физических понятий и законов, которые будут изучаться в лабораторной работе, и, следовательно, осознанно проводить опыты, и, во-вторых, сравнив ожидаемые теоретические результаты с результатами, полученными в ходе эксперимента, сделать обоснованное заключение о применимости использованной теории.

Задание по теоретическому расчету студенты выполняют в процессе подготовки к лабораторной работе. Явившись на занятие, студент обязан показать преподавателю полученные теоретические результаты вместе с заготовкой протокола. Это является необходимым условием допуска к выполнению экспериментов.

Сдавая преподавателю протокол с результатами опытов, студент одновременно сдает теоретические результаты, оформив их как приложение к протоколу.

Обычно студенческая бригада, выполняющая лабораторную работу на одной установке, состоит из 2 х - 3 х человек. Рекомендуется каждому члену бригады присвоить номер 1, 2, 3, распределив фамилии студентов по алфавиту. Каждый член бригады получает индивидуальное теоретическое задание в соответствии со своим номером, содержание которого приведено в описании лабораторной работы.

Лабораторная работа № 0

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЁМА ТЕЛА ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

Цель работы : на достаточно простом примере научиться проводить измерения физической величины, обрабатывать и представлять результаты прямых и косвенных измерений.
Объём цилиндра рассчитывается по формуле:
V = π d 2 h /4 , (0.1)
где d – диаметр основания цилиндра,

h – высота цилиндра.

Следовательно, объём тела цилиндрической формы можно определить из косвенного измерения, произведя прямые измерения диаметра и высоты.

Обработка и представление результатов прямых измерений

Так как у реального цилиндрического тела значения d и h , измеренные в разных местах и направлениях, могут оказаться разными, то следует произвести многократные измерения диаметра и высоты для нескольких сечений цилиндра . Если результаты многократных измерений получатся разными, то следует произвести их статистическую обработку в соответствии с п.1.2. Предстоит определить средние значения d и h , среднеквадратичные отклонения S d и S h , доверительные погрешности ∆ d и ∆ h (доверительную вероятность следует выбирать близкую к 100%).

В качестве измерительного прибора в данной работе Вы будете использовать линейку или штангенциркуль. Прибор позволит Вам измерить диаметр и высоту цилиндра. Приборная погрешность δ линейки и штангенциркуля определяется ценой деления. Приступая к измерениям, Вам необходимо определить цену деления измерительного прибора.

Доверительные погрешности ∆ d и ∆ h , полученные в результате статистической обработки, следует сравнить с приборной погрешностью δ. Если, например, большим оказывается значение ∆ d , то результат многократных прямых измерений диаметра представляется в виде:

d ± ∆ d (n = ... , P = ...) .
Если выполняется условие δ > ∆ d , то результат представляется в виде:

d ± δ .
В последнем случае считается, что все имеющиеся случайные погрешности перекрываются погрешностью прибора. Именно в такой ситуации можно ограничиваться однократным измерением.
Обработка и представление результатов косвенного измерения

Возможны два варианта обработки и представления результатов косвенного измерения объёма.

Первый вариант

По результатам многократных измерений d и h производятся многократные вычисления значений объёма V . После этого производится статистическая обработка и представление результатов в соответствии с п.1.2. в форме:
V ± ∆ V (n = ... , P = ...) .

Второй вариант

Производится оценка среднего значения V путём подстановки средних значений d и h в формулу для вычисления объёма. Оценка погрешности ∆ V производится в соответствии с формулой (В.7), учитывающей связь погрешностей прямых и косвенных измерений. Результат представляется в форме:

V ± ∆ V .
Строго говоря, варианты в общем случае дают разные результаты, как для средних значений, так и для погрешностей величин, определяемых с помощью косвенных измерений. Но если погрешности существенно меньше самих величин, то результаты оказываются достаточно близкими.

На практике чаще используется второй вариант, позволяющий сэкономить время на многократных вычислениях. А в том случае, когда прямые измерения являются однократными, этот подход является единственно возможным. Поэтому именно второй вариант представления результатов косвенных измерений Вам предстоит использовать в этой лабораторной работе и в последующих .

Задание к работе

1. 
   Используя формулы (В.7) и (0.1), получите формулу для определения погрешности ∆ V . Учтите, что при вычислении объёма по формуле (0.1) число π округляется и, следовательно, характеризуется некоторой погрешностью округления.
2. 
   Определите цену деления и приборную погрешность измерительного прибора.
3. 
   Подготовьте протокол:

• 
  оформите титульный лист,
• 
  напишите цель работы в п.1 протокола,
• 
  начертите и заполните таблицу измерительных приборов в п.2,
• 
  запишите рабочие формулы в п.3 (формула для определения средних значений величин, формула для определения среднеквадратичного отклонения, формула для определения доверительной погрешности, формула для определения объёма, выведенная Вами формула для определения ∆ V - погрешности косвенного измерения объёма),
• 
  п.4 отсутствует,
• 
  в п.5 начертите две таблицы (см. табл.В.2) для обработки результатов многократных (n = 5) измерений диаметра и высоты цилиндра.

1. 
   Произведите пятикратные измерения диаметра и высоты цилиндра в разных сечениях тела. Результаты измерений занесите в таблицы.
2. 
   Произведите статистическую обработку результатов измерений. Определите средние значения диаметра и высоты, а также соответствующие им доверительные погрешности. Сравните доверительные погрешности с приборной погрешностью измерительного прибора.
3. 
   Сделайте оценку среднего значение объёма цилиндра и соответствующей ему погрешности.
4. 
   В п.6 протокола продемонстрируйте, как проводились расчёты средних величин и их погрешностей.
5. 
   В п.7 протокола приведите окончательные результаты прямых и косвенных измерений в стандартной форме.
6. 
   Проанализируйте полученные результаты, сделайте вывод и запишите его в п.8 протокола.

Литература

1. 
   Агекян Т.А. Основы теории ошибок для астрономов и физиков. – М: Наука, 1972. – 172 с.
2. 
   Кассандрова О.Н., Лебедев В.В. Обработка результатов измерений. – М: Наука, 1970. – 104 с.
3. 
   Сквайрс Дж. Практическая физика: Пер. с англ. М: Мир, 1971. – 247 с.
4. 
   Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок: Пер. с англ. М: Мир, 1985. – 272 с.
5. 
   Худсон Д. Статистика для физиков: Пер. с англ. М: Мир, 1967. – 243 с.

страница 1

8.1.1 Виды измерений (прямые, косвенные, совокупные, совместные)

Целью измерения является нахождение соотношения измеряемой величины с ее единицей и получение значения этой величины. По способу получения значения измеряемой величины измерения делят на прямые, косвенные, совокупные и совместные.

Прямое измерение – это измерение, при котором искомое значение физической величины получают непосредственно из опытных данных.

Косвенные измерения представляют собой определение искомого значения физической величины на основании результатов прямых измерений других физических величин, функционально связанных с искомой величиной.

Совокупные измерения – это проводимые одновременно измерения нескольких одноименных величин, при которых искомые значения величин определяют путем решения системы уравнений, получаемых при измерениях этих величин в различных сочетаниях.

Совместные измерения – это проводимые одновременно измерения двух или нескольких неодноименных величин для определения зависимости между ними.

Перед статистической обработкой результатов измерений из опытных данных должны быть:

а) исключены известные систематические погрешности;

б) проверены и исключены грубые погрешности и промахи.

Общий порядок статистической обработки результатов измерений представляет собой:

а) проверку гипотезы о соответствии эмпирического распределения нормальному закону по одному из критериев;

б) определение числовых характеристик результатов измерений – среднего арифметического значения, дисперсии или СКО;

в) определение СКО среднего значения результата измерения и доверительных границ случайной составляющей погрешности измерений;

*г) определение границ не исключенных систематических погрешностей (НСП) и их влияния на результат измерений;

д) расчет доверительного интервала результата измерений.

Порядок выполнения расчетов по отдельным пунктам для прямых измерений был рассмотрен в предыдущих главах (3,4,7). Для результатов других видов измерений есть особенности статистической обработки.

Алгоритмы обработки результатов косвенных измерений устанавливаются в зависимости от взаимного влияния (корреляции) погрешностей измерений аргументов и вида функциональной зависимости между измеряемой величиной и ее аргументами.

Корреляция между погрешностями измерения аргументов существует, если выполняется условие:

где n - число измерений каждого аргумента;

t P – коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности Р и числа степеней свободы f = n – 2;

r – коэффициент корреляции:

, (8.2)

где a hi , a ki – результаты i-го измерения, соответственно h-го и j-го аргумента;

*Пункт (г) выполняется в особо точных случаях при возможности определения границ НСП.

– средние значения измеренных аргументов.

При установлении корреляции и нормальном распределении погрешностей измерений аргументов порядок статистической обработки определяется видом функциональной зависимости измеряемой величины от ее аргументов.

При линейной функциональной зависимости вида

, (8.3)

где b j – коэффициент при a j -м аргументе,

СКО среднего измеряемой величины определяется по формуле:

, (8.4)

где

– СКО среднего дляj-го аргумента:

При нелинейной функциональной зависимости: СКО среднего измеряемой величины определяется по формуле:

, (8.6)

где –первая частная производная функциональной зависимости измеряемой величины от аргументов поa j -му аргументу.

При линеаризации нелинейной зависимости появляется методическая НСП от округления ряда разложения Тейлора – R:

где

– полный дифференциал второго порядка функциональной зависимости.

Методической погрешностью R можно пренебречь, если

. (8.8)

В противном случае R должна учитываться в окончательном результате измерений.

При отсутствии корреляции, независимо от вида распределения экспериментальных данных и функциональной зависимости применяется метод приведения:

Вычисляются текущие значения измеряемой величины:

(8.9)

где –i-е значение j-го аргумента.

Рассчитывается оценка среднего измеряемой величины:

Рассчитывается СКО оценки среднего измеряемой величины:

. (8.11)

Окончательный результат косвенных измерений представляют в форме доверительного интервала:

где – коэффициент Стьюдента для заданной доверительной вероятности Р.

Результаты совокупных и совместных измерений получают из системы уравнений вида:

где - величины, получаемые при измерениях;

- искомые величины.

Для повышения точности результатов измерений в системе должно быть больше уравнений, чем число неизвестных.

Первоначальная система условных уравнений приводится к системе нормальных уравнений вида:

*где

,

и т.п.

Решением системы (8.14) являются оценки искомых величин

. Подставляя эти значения в условные уравнения, определяют остаточные погрешности i , так называемые «невязки». Невязки определяют погрешности измерения искомых величин, на основании которых рассчитываются доверительные интервалы этих величин.

*При проведении совместных измерений условные уравнения равноточные, при совокупных измерениях из-за различных сочетаний измеряемых величин уравнения неравноточны, и вводится дополнительная характеристика – вес:

. (8.15)

На коэффициент умножаются все величиныa, b, c, l.